Determine a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais:
(a) \left\{(x, y, z)^{T} \in \mathbb{R}^{3}: y=3 x\right\}
(b) \left\{(x, y, z)^{T} \in \mathbb{R}^{3}: y=5 x, z=0\right\}
(c) \left\{(x, y, z)^{T} \in \mathbb{R}^{3}: z=0\right\}

Passo 1

O enunciado pede, para cada um dos três subconjuntos de \mathbb{R}^{3}, que eu determine (1) a dimensão do subespaço e (2) uma base para ele. As três partes são:
(a) o conjunto \{(x,y,z)^{T}\in\mathbb{R}^{3}: y=3x\}. Informação dada: a coordenada y está fixada pela relação y=3x; x e z podem variar livremente.
(b) o conjunto \{(x,y,z)^{T}\in\mathbb{R}^{3}: y=5x,\, z=0\}. Informação dada: y é igual a 5x e z é fixo igual a 0; apenas x varia livremente.
(c) o conjunto \{(x,y,z)^{T}\in\mathbb{R}^{3}: z=0\}. Informação dada: z é fixo igual a 0; x e y variam livremente.
Vou resolver cada parte parametrizando os vetores do subespaço, encontrar vetores geradores (que formam um sistema que gera o subespaço) e então extrair deles uma base verificando independência linear. Lembre-se: dimensão = número de vetores de qualquer base.

Passo 2

Breve explicação da estratégia (passo-a-passo geral, sem aplicar ainda). Para achar dimensão e base de um subconjunto definido por equações lineares:
  1. Parametrizar: escrever um vetor genérico (x,y,z)^{T} satisfazendo as restrições em função de variáveis livres (por exemplo x e z).
  2. Escrever essa parametrização como combinação linear de vetores fixos — esses vetores serão candidatos a gerar o subespaço.
  3. Verificar se os vetores candidatos são linearmente independentes. Para isso, se c_{1}v_{1}+\cdots+c_{k}v_{k}=0 implica c_{1}=\cdots=c_{k}=0, então são independentes.
  4. Se são independentes e geram o subespaço, são uma base; a dimensão é k.
Vou aplicar isso com calma em cada item, mostrando todas as contas.

Passo 3

Começo por escrever o vetor genérico que satisfaz y=3x. Então um vetor (x,y,z)^{T} com essa condição fica
(x,y,z)^{T}=(x,3x,z)^{T}.
Agora identifico as variáveis livres. Aqui x e z são livres (podem ser quaisquer reais). Faço a separação em combinação linear em relação a x e z:
(x,3x,z)^{T} = x\,(1,3,0)^{T} + z\,(0,0,1)^{T}.
Portanto o subespaço é o conjunto de todas as combinações lineares de (1,3,0)^{T} e (0,0,1)^{T}.

Passo 4

Mostrei que qualquer vetor do subespaço pode ser escrito como combinação x(1,3,0)^{T}+z(0,0,1)^{T}. Isso significa que
\operatorname{span}\{(1,3,0)^{T},\,(0,0,1)^{T}\}
é igual ao subconjunto dado. Logo esses dois vetores geram o subespaço.

Passo 5

Preciso checar se existe combinação a(1,3,0)^{T}+b(0,0,1)^{T}=(0,0,0)^{T} com a,b não ambos nulos. Escrevo as coordenadas:
a(1,3,0)^{T}+b(0,0,1)^{T} = (a,3a,b)^{T} = (0,0,0)^{T}.
Isso dá o sistema de equações
a=0,\qquad 3a=0,\qquad b=0.
Da primeira equação vem a=0; então necessariamente b=0. Portanto a única solução é a=b=0, logo os vetores são linearmente independentes.

Passo 6

Como (1,3,0)^{T} e (0,0,1)^{T} geram o subespaço e são linearmente independentes, formam uma base. O número de vetores na base é 2, logo a dimensão do subespaço é 2.

Passo 7

Agora a parte (b). A condição é y=5x e z=0. Escrevo o vetor genérico:
(x,y,z)^{T}=(x,5x,0)^{T}.
Aqui a única variável livre é x. Então fatoro x:
(x,5x,0)^{T} = x\,(1,5,0)^{T}.
Portanto todo vetor do subespaço é múltiplo escalar de (1,5,0)^{T}.

Passo 8

Como qualquer vetor do subespaço é x(1,5,0)^{T}, o conjunto \{(1,5,0)^{T}\} gera o subespaço. Verifico independência: se c(1,5,0)^{T}=(0,0,0)^{T} então c=0. Logo o vetor não-nulo é linearmente independente por si só.

Passo 9

Assim \{(1,5,0)^{T}\} é uma base e a dimensão é 1.

Passo 10

Agora a parte (c). A condição é z=0. Então o vetor genérico é
(x,y,z)^{T}=(x,y,0)^{T}.
As variáveis livres são x e y. Posso escrever como combinação:
(x,y,0)^{T} = x\,(1,0,0)^{T} + y\,(0,1,0)^{T}.
Portanto o subespaço é o span de (1,0,0)^{T} e (0,1,0)^{T}.

Passo 11

Qualquer vetor com z=0 é combinação linear desses dois vetores, então eles geram o subespaço. Para independência, suponha a(1,0,0)^{T}+b(0,1,0)^{T}=(0,0,0)^{T}. Isso dá (a,b,0)^{T}=(0,0,0)^{T}, logo a=0 e b=0. São independentes.

Passo 12

Como os dois vetores geram o subespaço e são independentes, formam uma base. A dimensão é 2.

Resposta

(a) dimensão 2, base \left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\\[4pt]0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}
(b) dimensão 1, base \left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]5\\[4pt]0\end{pmatrix}\right\}
(c) dimensão 2, base \left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}\right\}]

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