Considere que a bateria do seu celular tem 50 pilhas recarregável, onde cada uma das quais de fem 2,3 \mathrm{~V} e resistência interna 0,10 \Omega. Ao ser carregada numa fonte de corrente contínua de 210 V e resistência interna desprezível, suponha que a corrente máxima que pode circular pelo fio do carregador é 6,0 \mathrm{~A}. a
a) Qual é a resistência extra que deve ser inserida no circuito do seu carregador para que sua bateria não seja estragada? Esse carregador seria viável? Explique.
b) Se a bateria do seu celular carregar em 2 h , qual seu gasto de energia elétrica mensal se você carregar seu celular todos os dias?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listá-los com clareza e sem resolver nada ainda):
  • Número de pilhas: 50.
  • Fem de cada pilha: \, \mathcal{E}_{\text{cada}} = 2{,}3\\ \mathrm{V}.
  • Resistência interna de cada pilha: \, r_{\text{cada}} = 0{,}10\\ \Omega.
  • Fonte de carga (tensão): \, V_{\text{fonte}} = 210\\ \mathrm{V} (resistência interna desprezível).
  • Corrente máxima admissível no fio do carregador: \, I_{\max}=6{,}0\\ \mathrm{A}.
  • Tempo de carga por ciclo: \, t_{\text{carga}} = 2\\ \mathrm{h}.
  • Quer-se carregar todos os dias (vou tomar o mês como 30 dias, se não for especificado).
O enunciado pergunta:
a) Qual a resistência extra R_{\text{extra}} que deve ser inserida no circuito para que a bateria não seja estragada? Esse carregador seria viável? Explique.
b) Se a bateria carregar em 2 h, qual o gasto de energia elétrica mensal se carregar todos os dias?

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar as pilhas em série soma fems e resistências internas. Isso é porque, em série, tensões somam e resistências somam. Então:
\mathcal{E}_{\text{total}} = 50 \times \mathcal{E}_{\text{cada}} = 50 \times 2{,}3 = 115\\ \mathrm{V}.
r_{\text{total}} = 50 \times r_{\text{cada}} = 50 \times 0{,}10 = 5{,}0\\ \Omega.
Esses dois resultados foram obtidos multiplicando os valores por 50 porque as pilhas estão em série.

Passo 3

Agora a lei de Ohm para o circuito série fonte resistor extra + resistência interna da bateria. Quando a fonte de V_{\text{fonte}} está carregando a bateria de fem \mathcal{E}_{\text{total}}, a corrente que circula é dada por:
I=\frac{V_{\text{fonte}}-\mathcal{E}_{\text{total}}}{R_{\text{extra}}+r_{\text{total}}}.
Explicação didática: o numerador (V_{\text{fonte}}-\mathcal{E}_{\text{total}}) é a diferença de potencial “sobrando” para forçar a corrente a entrar na bateria; o denominador é a resistência total em série que limita essa corrente (resistência extra que colocamos mais a resistência interna das pilhas).
Queremos garantir que I\le I_{\max}=6{,}0\\ \mathrm{A}. Para obter a resistência mínima que assegura exatamente I=I_{\max} (ou seja, não ultrapassar), isolamos R_{\text{extra}}:
R_{\text{extra}}=\frac{V_{\text{fonte}}-\mathcal{E}_{\text{total}}}{I_{\max}}-r_{\text{total}}.

Passo 4

Calcular numericamente R_{\text{extra}}. Primeiro calcule o quociente:
\frac{V_{\text{fonte}}-\mathcal{E}_{\text{total}}}{I_{\max}}=\frac{210-115}{6{,}0}=\frac{95}{6{,}0}=15{,}833\ldots\\ \Omega.
Agora subtrair r_{\text{total}}=5{,}0\\ \Omega:
R_{\text{extra}}=15{,}833\ldots - 5{,}0 = 10{,}833\ldots\\ \Omega.
Arredondando com sentido prático: R_{\text{extra}}\approx 10{,}8\\ \Omega. Observação: para garantir I\le 6{,}0\\ \mathrm{A} deve-se usar pelo menos essa resistência; usar resistência maior reduziria ainda mais a corrente.

Passo 5

Verificar viabilidade prática calculando potências dissipadas e eficiência. Com I=6{,}0\\ \mathrm{A} e R_{\text{extra}}\approx10{,}83\\ \Omega:
Potência dissipada na resistência extra:
P_{R}=I^{2}R_{\text{extra}}=(6{,}0)^{2}\times 10{,}833\ldots =36\times 10{,}833\ldots \approx 390{,}0\\ \mathrm{W}.
Potência dissipada nas resistências internas da bateria:
P_{r}=I^{2}r_{\text{total}}=36\times 5{,}0 =180{,}0\\ \mathrm{W}.
Potência que está sendo “convertida” no sentido químico (energia armazenada na bateria, taxa):
P_{\text{armazenada}}=\mathcal{E}_{\text{total}}\cdot I =115\times 6{,}0 =690{,}0\\ \mathrm{W}.
Potência fornecida pela fonte (verificação):
P_{\text{fonte}}=V_{\text{fonte}}\cdot I =210\times 6{,}0 =1260{,}0\\ \mathrm{W}.
Confere que 1260 \approx 390 + 180 + 690, ou seja, energia conservada.
Interpretação prática:
  • A resistência extra teria que dissipar cerca de \,390\\ \mathrm{W} em forma de calor: isso é muito alto para um “resistor de carregador” portátil — exigiria um componente grande com refrigeração e seria extremamente ineficiente.
  • Além disso, a bateria em si dissipa \,180\\ \mathrm{W} internamente, aquecendo fortemente as pilhas — perigoso e danoso.
  • A corrente de 6{,}0\\ \mathrm{A} é muito alta para uma bateria de celular típica (isto acelera aquecimento e degradação).
Conclusão preliminar sobre viabilidade: não é viável inserir só um resistor dessa potência numa fonte doméstica para carregar um celular; é ineficiente, gera muito calor e é perigoso para as pilhas. Soluções reais usam fontes com controle de corrente/tensão (eletrônica), limitação por circuitos e correntes muito menores.

Passo 6

Agora a parte (b): energia gasta por carga e mensal.
Energia elétrica fornecida pela fonte durante uma carga de duração t_{\text{carga}}=2\\ \mathrm{h} com P_{\text{fonte}}=1260\\ \mathrm{W}:
E_{\text{por carga}} = P_{\text{fonte}}\times t_{\text{carga}} =1260\\ \mathrm{W}\times 2\\ \mathrm{h}=2520\\ \mathrm{Wh}.
Converter para kWh (unidade usada em contas de energia):
2520\\ \mathrm{Wh} = 2{,}520\\ \mathrm{kWh}.
Se carregar todos os dias por 30 dias:
E_{\text{mensal}} = 2{,}520\\ \mathrm{kWh}\times 30 =75{,}6\\ \mathrm{kWh}.
Se for necessário o custo em moeda, multiplica-se E_{\text{mensal}} pelo preço por kWh da companhia elétrica (o enunciado não fornece tarifa, então deixo a fórmula):
\text{Custo mensal} = E_{\text{mensal}}\times (\text{preço por kWh}).ç

Resposta

a) R_{\text{extra}}\approx 10{,}8\\ \Omega. Não viável (dissipa \approx 390\\ \mathrm{W}, muita perda térmica e perigoso para as pilhas).
b) 75{,}6\\ \mathrm{kWh} por mês (assumindo 30 dias, carregando 2 h por dia com as condições acima).

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