Explique o que se entende por:
Interpretação geométrica da derivada parcial \frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0}, y_{0}\right).

Passo 1

O enunciado pede que eu explique o que se entende por "interpretação geométrica da derivada parcial \frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0},y_{0}\right)". As informações dadas são apenas que existe uma função f(x,y) e um ponto \left(x_{0},y_{0}\right) no domínio onde queremos entender essa derivada parcial. Não há outros dados numéricos.

Passo 2

Definição via limite (fórmula e significado das variáveis).
A derivada parcial de f em relação a x no ponto \left(x_{0},y_{0}\right) é definida por
\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h,y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{h}.
Explicando cada parte:
  • f(x,y) é a função que associa a cada par (x,y) um número z.
  • h é um pequeno incremento em x, enquanto y permanece exatamente y_{0}.
  • O quociente \dfrac{f(x_{0}+h,y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{h} é a taxa média de variação de f quando só x varia.
  • O limite quando h\to 0 dá a taxa instantânea de variação de f em relação a x naquele ponto, com y preso.

Passo 3

Interpretação geométrica básica: inclinação da “seção” da superfície.
Considere a superfície S no espaço tridimensional dada por z=f(x,y). Corte essa superfície pelo plano vertical que mantém y=y_{0}. A interseção entre S e esse plano é uma curva no plano \{y=y_{0}\} descrita pela função de uma variável
\varphi(x)=f(x,y_{0}).
A derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0}) é exatamente a inclinação (o coeficiente angular) da tangente a essa curva no ponto x=x_{0}. Em outras palavras, é a inclinação da linha tangente obtida cortando a superfície por y=y_{0}.

Passo 4

Equação da linha tangente à seção e interpretação numérica.
A linha tangente à curva \varphi(x)=f(x,y_{0}) em x_{0} tem equação
\ell_x(x)=f(x_{0},y_{0})+\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\,(x-x_{0}).
Geometricamente:
  • O número \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0}) é a inclinação dessa linha tangente (quanto z sobe ou desce por unidade que x aumenta, mantendo y fixo).
  • Se \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})>0, a superfície sobe no sentido positivo de x. Se for <0, desce. Se for 0, a seção tem um ponto horizontal ali.

Passo 5

Relação com derivada direcional e vetor unitário.
A derivada direcional de f na direção do eixo x (vetor unitário \mathbf{e}_x=(1,0)) coincide com a derivada parcial:
D_{\mathbf{e}_x}f(x_{0},y_{0})=\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0}).
Ou seja, a derivada parcial é o ritmo de variação de f ao caminhar na direção de x mantendo y fixo.

Passo 6

Relação com o plano tangente e aproximação linear (uso prático na prova).
Se f for diferenciável em \left(x_{0},y_{0}\right), a aproximação linear de f perto desse ponto é
f(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)\approx f(x_{0},y_{0})+\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\,\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\,\Delta y.
Geometricamente, isso corresponde ao plano tangente à superfície em \left(x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0})\right), cuja inclinação na direção x é dada por \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0}). Em provas isso é útil: para estimar variações de f quando \Delta x é pequeno, mantenha \Delta y=0 e a variação aproximada é \dfrac{\partial f}{\partial x}\,\Delta x.

Passo 7

Exemplo numérico concreto (para ver como funciona na prática).
Considere f(x,y)=x^{2}+3y. Então
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x.
No ponto (x_{0},y_{0})=(1,2) temos \dfrac{\partial f}{\partial x}(1,2)=2.
Interpretação: mantendo y=2 fixo, quando x aumenta de 1 para 1{,}1 ( \Delta x=0{,}1), o valor de z aumenta aproximadamente
\Delta z \approx 2\cdot 0{,}1=0{,}2.
Comparando com o cálculo exato:
f(1{,}1,2)=1{,}1^{2}+3\cdot 2=1{,}21+6=7{,}21, \qquad f(1,2)=1+6=7,
então \Delta z=0{,}21, bem próximo da estimativa 0{,}2. A pequena diferença é porque \Delta x não é infinitesimal, mas já dá a ideia geométrica: a inclinação da seção é 2.

Passo 8

Observações finais e dicas para prova (resumo prático).
  • Sempre visualize \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0}) como a inclinação da superfície na direção do eixo x, isto é, da curva obtida por cortar a superfície com o plano y=y_{0}.
  • Para calcular em provas, use a definição limite se necessário, ou diferencie a expressão de f tratando y como constante.
  • Quando lidar com aproximações ou com o plano tangente, lembre-se de que \dfrac{\partial f}{\partial x} é o coeficiente que multiplica \Delta x na aproximação linear.
  • Sinais: positivo = sobe, negativo = desce, zero = seção tem tangente horizontal (possível ponto crítico na direção x).

Resposta

A derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0}) é a taxa instantânea de variação de f em relação a x no ponto (x_{0},y_{0}) quando y é mantido fixo; geometricamente, é a inclinação (coeficiente angular) da linha tangente à curva obtida ao cortar a superfície z=f(x,y) pelo plano y=y_{0}, e corresponde à inclinação do plano tangente na direção do eixo x.

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