Explique o que se entende por:
Derivada parcial de uma função f(x, y) em relação à variável x.

Passo 1

O enunciado pede para explicar o que se entende por "derivada parcial de uma função f(x,y) em relação à variável x".
Informações dadas: a função tem duas variáveis independentes, x e y, e a explicação deve clarificar o significado, a definição formal, como calcular na prática e o que essa derivada representa.

Passo 2

Intuição simples e exemplo do mundo real. Pense em f(x,y) como temperatura num plano: x é a coordenada leste-oeste e y é a coordenada norte-sul. A derivada parcial de f em relação a x mede “o quanto a temperatura muda se eu me mover um pouco para leste (variar x) mantendo exatamente a mesma posição norte-sul (fixo y)”. Em palavras curtas: é a taxa de variação de f quando só x varia e y fica constante.

Passo 3

Definição formal por limite. Seja um ponto (x_0,y_0). A derivada parcial de f em relação a x no ponto (x_0,y_0) é o limite (se existir)
\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}.
Aqui:
  • h é um pequeno incremento em x;
  • y_0 permanece fixo em toda a expressão;
  • o quociente \dfrac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h} é a diferença fim-início dividida pelo passo em x, exatamente como na derivada de uma função de uma variável.

Passo 4

Explanação passo a passo do que a fórmula faz. Quando escrevemos \dfrac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h} estamos construindo a “taxa média de variação” de f ao ir de x_0 a x_0+h com y preso em y_0. Tomando o limite h\to0 obtém-se a taxa instantânea — a derivada parcial. Se esse limite existe para o par (x_0,y_0), diz-se que a derivada parcial em x existe naquele ponto.

Passo 5

Notação e variações de notação. Pode aparecer de várias formas equivalentes:
  • \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0),
  • \dfrac{\partial}{\partial x} f(x_0,y_0),
  • f_x(x_0,y_0).
    Todas significam a mesma coisa: derivada parcial de f em relação a x no ponto indicado.

Passo 6

Como calcular na prática (regra prática para prova): “tratar y como constante e derivar em relação a x como se fosse função de uma variável”. Exemplo 1 — passo a passo:
Seja f(x,y)=x^2 y+3x-\sin(y).
  • Tratar y como constante.
  • Derivar termo a termo em relação a x:
    • x^2 y é produto de x^2 por constante y, a derivada é 2x\cdot y.
    • 3x vira 3.
    • -\sin(y) é constante em relação a x, vira 0.
      Logo
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2xy+3.
Observe que y aparece no resultado como um fator constante.

Passo 7

Exemplo 2 com cadeia (mostrar cuidado com regras). Tome f(x,y)=\sin(xy).
  • Trate y como constante.
  • A função é composição g(u)=\sin u com u(x)=xy.
  • Pela regra da cadeia (aplicada com y constante),
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\cos(xy)\cdot \frac{\partial}{\partial x}(xy)=\cos(xy)\cdot y.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y\cos(xy).
Aqui foi usado que \dfrac{\partial}{\partial x}(xy)=y porque y é constante.

Passo 8

Regras úteis e rápidas (para usar na prova):
  • Linearidade: \dfrac{\partial}{\partial x}(af+bg)=a\,\dfrac{\partial f}{\partial x}+b\,\dfrac{\partial g}{\partial x} para constantes a,b.
  • Produto: \dfrac{\partial}{\partial x}(f\,g)=\dfrac{\partial f}{\partial x}\,g+f\,\dfrac{\partial g}{\partial x}.
  • Cadeia: se z=f(u(x,y),v(x,y)), usar derivadas parciais combinando as derivadas de f em relação às suas entradas com \dfrac{\partial u}{\partial x}, \dfrac{\partial v}{\partial x}.
    Essas regras são as mesmas das derivadas de uma variável, só que lembrando que variáveis que não derivam são tratadas como constantes.

Passo 9

Interpretação geométrica e comentários importantes. Geometricamente, \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) é a inclinação da reta tangente à curva de interseção da superfície z=f(x,y) com o plano y=y_0. Observações importantes:
  • A existência de derivadas parciais em um ponto não garante que f seja contínua ou diferenciável naquele ponto (há contraexemplos).
  • Se ambas as derivadas parciais existem e são contínuas numa vizinhança, então f é diferenciável ali e o plano tangente pode ser escrito usando essas parciais (isso é útil, mas não obrigatório para entender o conceito básico).

Passo 10

Dicas finais para a prova e motivação. Quando a questão pedir \dfrac{\partial f}{\partial x}:
  1. Escreva f(x,y).
  2. Trate y como constante.
  3. Aplique regras de derivação conhecidas (potência, produto, cadeia, etc.).
  4. Simplifique e deixe y aparecendo como fator quando for o caso.
    Pratique com funções polinomiais, trigonométricas e compostas até o processo virar automático. Vai dar certo — começa com exemplos fáceis e vá subindo.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h},
ou seja, a taxa de variação de f quando x varia e y é mantido constante.

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