Explique o que se entende por:
Derivada parcial de uma função
em relação à variável
.
Derivada parcial de uma função
Passo 1
O enunciado pede para explicar o que se entende por "derivada parcial de uma função
em relação à variável
".
Informações dadas: a função tem duas variáveis independentes, e
, e a explicação deve clarificar o significado, a definição formal, como calcular na prática e o que essa derivada representa.
Informações dadas: a função tem duas variáveis independentes,
Passo 2
Intuição simples e exemplo do mundo real. Pense em
como temperatura num plano:
é a coordenada leste-oeste e
é a coordenada norte-sul. A derivada parcial de
em relação a
mede “o quanto a temperatura muda se eu me mover um pouco para leste (variar
) mantendo exatamente a mesma posição norte-sul (fixo
)”. Em palavras curtas: é a taxa de variação de
quando só
varia e
fica constante.
Passo 3
Definição formal por limite. Seja um ponto
. A derivada parcial de
em relação a
no ponto
é o limite (se existir)
Aqui:
-
é um pequeno incremento em ; -
permanece fixo em toda a expressão; - o quociente
é a diferença fim-início dividida pelo passo em , exatamente como na derivada de uma função de uma variável.
Passo 4
Explanação passo a passo do que a fórmula faz. Quando escrevemos
estamos construindo a “taxa média de variação” de
ao ir de
a
com
preso em
. Tomando o limite
obtém-se a taxa instantânea — a derivada parcial. Se esse limite existe para o par
, diz-se que a derivada parcial em
existe naquele ponto.
Passo 5
Notação e variações de notação. Pode aparecer de várias formas equivalentes:
-
, -
, -
.
Todas significam a mesma coisa: derivada parcial deem relação a no ponto indicado.
Passo 6
Como calcular na prática (regra prática para prova): “tratar
como constante e derivar em relação a
como se fosse função de uma variável”. Exemplo 1 — passo a passo:
Seja .
Seja
- Tratar
como constante. - Derivar termo a termo em relação a
: -
é produto de por constante , a derivada é . -
vira . -
é constante em relação a , vira .
Logo
-
Observe que
aparece no resultado como um fator constante.
Passo 7
Exemplo 2 com cadeia (mostrar cuidado com regras). Tome
.
- Trate
como constante. - A função é composição
com . - Pela regra da cadeia (aplicada com
constante),
Portanto
Aqui foi usado que
porque
é constante.
Passo 8
Regras úteis e rápidas (para usar na prova):
- Linearidade:
para constantes . - Produto:
. - Cadeia: se
, usar derivadas parciais combinando as derivadas de em relação às suas entradas com , .
Essas regras são as mesmas das derivadas de uma variável, só que lembrando que variáveis que não derivam são tratadas como constantes.
Passo 9
Interpretação geométrica e comentários importantes. Geometricamente,
é a inclinação da reta tangente à curva de interseção da superfície
com o plano
. Observações importantes:
- A existência de derivadas parciais em um ponto não garante que
seja contínua ou diferenciável naquele ponto (há contraexemplos). - Se ambas as derivadas parciais existem e são contínuas numa vizinhança, então
é diferenciável ali e o plano tangente pode ser escrito usando essas parciais (isso é útil, mas não obrigatório para entender o conceito básico).
Passo 10
Dicas finais para a prova e motivação. Quando a questão pedir
:
- Escreva
. - Trate
como constante. - Aplique regras de derivação conhecidas (potência, produto, cadeia, etc.).
- Simplifique e deixe
aparecendo como fator quando for o caso.
Pratique com funções polinomiais, trigonométricas e compostas até o processo virar automático. Vai dar certo — começa com exemplos fáceis e vá subindo.
Resposta
ou seja, a taxa de variação de
quando
varia e
é mantido constante.