Considere uma blenda obtida pela mistura de 100 cadeias de um polímero com massa molar M_{A}=1 \times 10^{5} \mathrm{~g} \mathrm{~mol}^{-1} e 200 cadeias do mesmo tipo de polímero com massa molar M_{B}=2 \times 10^{5} \mathrm{~g} \mathrm{~mol}^{-1}.
(i) Calcule a massa molar média numérica M_{n} dessa blenda.
(ii) Qual é a massa molar média ponderal M_{w} dessa blenda?
(iii) Qual é o índice de polidispersidade dessa blenda polimérica?

Passo 1

O enunciado dá uma blenda de polímero com duas populações de cadeias:
  • N_A = 100 cadeias com massa molar M_A = 1\times10^{5}\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.
  • N_B = 200 cadeias com massa molar M_B = 2\times10^{5}\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.
O que o problema pede:
(i) calcular a massa molar média numérica M_n da blenda;
(ii) calcular a massa molar média ponderal M_w da blenda;
(iii) calcular o índice de polidispersidade (ou dispersidade) Đ = \dfrac{M_w}{M_n}Đ.

Passo 2

Definição e fórmula para M_n.
  • Intuição: a média numérica M_n é a média simples das massas molares contando cada cadeia igualmente. Ou seja, soma-se a massa molar de cada cadeia (multiplicada pelo número de cadeias desse tipo) e divide-se pelo número total de cadeias.
  • Fórmula:
M_n = \frac{\sum_i N_i M_i}{\sum_i N_i},
onde N_i é o número de cadeias do tipo i e M_i é a massa molar desse tipo.
  • Aplicando aos dados:
\sum_i N_i M_i = N_A M_A + N_B M_B = 100\cdot(1\times10^{5}) + 200\cdot(2\times10^{5}).
Calcule cada termo:
100\cdot(1\times10^{5}) = 1{,}0\times10^{7}, \qquad 200\cdot(2\times10^{5}) = 4{,}0\times10^{7}.
Somando:
\sum_i N_i M_i = 1{,}0\times10^{7} + 4{,}0\times10^{7} = 5{,}0\times10^{7}.
O número total de cadeias é
\sum_i N_i = N_A + N_B = 100 + 200 = 300.
Agora a média:
M_n = \frac{5{,}0\times10^{7}}{300} = 1{,}666\ldots\times10^{5}\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.
Arredondando de forma prática (4 algarismos significativos):
M_n \approx 1{,}6667\times10^{5}\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.

Passo 3

Definição, derivação e cálculo de M_w.
  • Intuição: a média ponderal M_w dá mais peso às cadeias mais pesadas, porque cada cadeia contribui proporcionalmente à sua massa para a massa total. Matemática: primeiro calcula-se a fração em massa de cada tipo de cadeia e então faz-se a média ponderada por essas frações.
  • Fórmula (derivação curta):
    A fração em massa do tipo i é w_i=\dfrac{N_i M_i}{\sum_j N_j M_j}. Então
M_w=\sum_i w_i M_i = \frac{\sum_i N_i M_i^2}{\sum_i N_i M_i}.
  • Aplicando aos dados, calcule o numerador \sum_i N_i M_i^2:
N_A M_A^2 = 100\cdot(1\times10^{5})^2 = 100\cdot(1\times10^{10}) = 1{,}0\times10^{12},
N_B M_B^2 = 200\cdot(2\times10^{5})^2 = 200\cdot(4\times10^{10}) = 8{,}0\times10^{12}.
Somando:
\sum_i N_i M_i^2 = 1{,}0\times10^{12} + 8{,}0\times10^{12} = 9{,}0\times10^{12}.
O denominador já calculado no Passo 2 é \sum_i N_i M_i = 5{,}0\times10^{7}.
  • Portanto,
M_w = \frac{9{,}0\times10^{12}}{5{,}0\times10^{7}} = 1{,}8\times10^{5}\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.

Passo 4

Índice de polidispersidade ĐĐ e interpretação.
  • Definição: Đ = \dfrac{M_w}{M_n}Đ. Este número mede quão alargada é a distribuição de massas molares; para um polímero perfeitamente monodisperso tem-se Đ=1Đ. Em geral Đ\ge1Đ.
  • Cálculo com os valores obtidos:
Đ = \frac{M_w}{M_n} = \frac{1{,}8\times10^{5}}{1{,}666\ldots\times10^{5}} = 1{,}08.Đ
  • Interpretação curta: Đ>1Đ (aqui 1{,}08) indica que há dispersidade na blenda: existindo cadeias mais pesadas e mais leves, e a média ponderal é maior que a numérica porque as cadeias maiores pesam mais na média ponderal.

Resposta

(i) M_n \approx 1{,}6667\times10^{5}\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}
(ii) M_w = 1{,}8\times10^{5}\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}
(iii) Đ = 1{,}08Đ

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