Considere um recipiente contendo um fluido de densidade \rho. Encontre a pressāo a uma profundidade h nos casos a seguir e seu gráfico como função de h :
O recipiente é acelerado para cima com aceleraçāo em módulo a.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a pressão a uma profundidade h num fluido de densidade \rho contido em um recipiente que está sendo acelerado para cima com aceleração (em módulo) a. Também pede o gráfico da pressão como função de h.
Informações dadas e o que vamos usar:
  • a densidade do fluido é \rho;
  • a profundidade onde queremos a pressão é h, medida a partir da superfície livre do fluido (profundidade positiva para baixo);
  • o recipiente acelera para cima com aceleração de módulo a;
  • a aceleração da gravidade é \,g (sempre presente, apontando para baixo);
  • denotamos por p_0 a pressão na superfície livre ( h=0); se o fluido estiver exposto ao ar, p_0 é a pressão atmosférica.
    Nada mais foi informado — vamos usar essas grandezas para obter p(h) e descrever o gráfico p versus h.

Passo 2

Ideia física e estratégia (sem resolver ainda): a pressão em um ponto do fluido decorre do “peso aparente” da coluna de fluido acima daquele ponto. Quando o recipiente acelera para cima, o fluido sente um aumento da força aparente para baixo — isto é, sua “gravidade efetiva” aumenta. A forma prática de tratar isso é trabalhar num referencial acelerado (o referencial do recipiente) e introduzir uma aceleração efetiva para baixo igual a g_{\text{ef}} = g + a. A partir daí usamos a condição de equilíbrio hidrostático para obter a variação de pressão com a profundidade.

Passo 3

Relembre a fórmula diferencial do equilíbrio hidrostático (aula rápida): considere uma pequena lâmina horizontal do fluido, área A e espessura dz, localizada a uma profundidade z medida para baixo desde a superfície. As forças verticais sobre a lâmina, no referencial do recipiente, são:
  • para baixo: a pressão no topo p(z)\,A;
  • para cima: a pressão no fundo p(z+dz)\,A;
  • além disso, há a força de “peso aparente” da lâmina, que no referencial acelerado é dada por \rho A\,dz \cdot g_{\text{ef}}, onde \rho A\,dz é a massa da lâmina e g_{\text{ef}} é a aceleração efetiva para baixo.
    O equilíbrio de forças (soma das forças = 0) dá, ao dividir por A e rearranjar, a forma diferencial da variação de pressão:
\frac{dp}{dz}=\rho\,g_{\text{ef}}.
Aqui explico cada símbolo:
  • p é a pressão que depende de z;
  • z é a profundidade medida para baixo desde a superfície ( z=0 na superfície);
  • \rho é a densidade do fluido;
  • g_{\text{ef}} é a aceleração efetiva para baixo que age sobre o fluido no referencial acelerado.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: como o recipiente acelera para cima com aceleração de módulo a, a aceleração efetiva para baixo é
g_{\text{ef}} = g + a.
Portanto a equação diferencial fica
\frac{dp}{dz}=\rho\,(g+a).

Passo 5

Integramos a equação diferencial entre a superfície ( z=0, onde p=p_0) e a profundidade z=h (o h do enunciado):
\int_{p_0}^{p(h)} dp \;=\; \int_{0}^{h} \rho\,(g+a)\,dz.
O lado esquerdo integra para p(h)-p_0. O lado direito é constante em z, então integra para \rho\,(g+a)\,h. Assim obtemos
p(h)-p_0 = \rho\,(g+a)\,h.
Isolando p(h),
p(h)=p_0+\rho\,(g+a)\,h.

Passo 6

Interpretação e observações práticas:
  • p_0 é a pressão na superfície. Se a superfície estiver exposta ao ar, p_0 é a pressão atmosférica; se houver uma tampa com pressão diferente, usar esse valor.
  • Comparando com o caso estático (sem aceleração), onde p(h)=p_0+\rho g h, vemos que a aceleração para cima aumenta a taxa de aumento da pressão com a profundidade: o incremento por unidade de profundidade passa de \rho g para \rho(g+a).
  • Limite físico: se a for grande, o gradiente de pressão é maior (o fluido “fica mais pesado” ao ser acelerado para cima).

Passo 7

Gráfico de p em função de h:
  • a relação é linear: p(h)=p_0+\rho(g+a)\,h;
  • intercepto em h=0 é p_0;
  • coeficiente angular (inclinação) é \rho(g+a), positivo;
  • portanto o gráfico é uma reta crescente com inclinação \rho(g+a). Visualmente: começa em p_0 no eixo p e sobe linearmente conforme h aumenta.

Resposta

p(h)=p_0+\rho\,(g+a)\,h
Gráfico: reta linear com intercepto p_0 e inclinação \rho(g+a).

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