Considere um recipiente contendo um fluido de densidade
. Encontre a pressāo a uma profundidade
nos casos a seguir e seu gráfico como função de
:
O recipiente é acelerado para cima com aceleraçāo em módulo
.
O recipiente é acelerado para cima com aceleraçāo em módulo
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a pressão a uma profundidade
num fluido de densidade
contido em um recipiente que está sendo acelerado para cima com aceleração (em módulo)
. Também pede o gráfico da pressão como função de
.
Informações dadas e o que vamos usar:
- a densidade do fluido é
; - a profundidade onde queremos a pressão é
, medida a partir da superfície livre do fluido (profundidade positiva para baixo); - o recipiente acelera para cima com aceleração de módulo
; - a aceleração da gravidade é
(sempre presente, apontando para baixo); - denotamos por
a pressão na superfície livre ( ); se o fluido estiver exposto ao ar, é a pressão atmosférica.
Nada mais foi informado — vamos usar essas grandezas para obtere descrever o gráfico versus .
Passo 2
Ideia física e estratégia (sem resolver ainda): a pressão em um ponto do fluido decorre do “peso aparente” da coluna de fluido acima daquele ponto. Quando o recipiente acelera para cima, o fluido sente um aumento da força aparente para baixo — isto é, sua “gravidade efetiva” aumenta. A forma prática de tratar isso é trabalhar num referencial acelerado (o referencial do recipiente) e introduzir uma aceleração efetiva para baixo igual a
. A partir daí usamos a condição de equilíbrio hidrostático para obter a variação de pressão com a profundidade.
Passo 3
Relembre a fórmula diferencial do equilíbrio hidrostático (aula rápida): considere uma pequena lâmina horizontal do fluido, área
e espessura
, localizada a uma profundidade
medida para baixo desde a superfície. As forças verticais sobre a lâmina, no referencial do recipiente, são:
- para baixo: a pressão no topo
; - para cima: a pressão no fundo
; - além disso, há a força de “peso aparente” da lâmina, que no referencial acelerado é dada por
, onde é a massa da lâmina e é a aceleração efetiva para baixo.
O equilíbrio de forças (soma das forças = 0) dá, ao dividir pore rearranjar, a forma diferencial da variação de pressão:
Aqui explico cada símbolo:
-
é a pressão que depende de ; -
é a profundidade medida para baixo desde a superfície ( na superfície); -
é a densidade do fluido; -
é a aceleração efetiva para baixo que age sobre o fluido no referencial acelerado.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso: como o recipiente acelera para cima com aceleração de módulo
, a aceleração efetiva para baixo é
Portanto a equação diferencial fica
Passo 5
Integramos a equação diferencial entre a superfície (
, onde
) e a profundidade
(o
do enunciado):
O lado esquerdo integra para
. O lado direito é constante em
, então integra para
. Assim obtemos
Isolando
,
Passo 6
Interpretação e observações práticas:
-
é a pressão na superfície. Se a superfície estiver exposta ao ar, é a pressão atmosférica; se houver uma tampa com pressão diferente, usar esse valor. - Comparando com o caso estático (sem aceleração), onde
, vemos que a aceleração para cima aumenta a taxa de aumento da pressão com a profundidade: o incremento por unidade de profundidade passa de para . - Limite físico: se
for grande, o gradiente de pressão é maior (o fluido “fica mais pesado” ao ser acelerado para cima).
Passo 7
Gráfico de
em função de
:
- a relação é linear:
; - intercepto em
é ; - coeficiente angular (inclinação) é
, positivo; - portanto o gráfico é uma reta crescente com inclinação
. Visualmente: começa em no eixo e sobe linearmente conforme aumenta.
Resposta
Gráfico: reta linear com intercepto
e inclinação
.