Considere uma bobinas circular compacta de raio
, com
voltas, coaxial à outra bobina circular compacta, maior que a primeira, de raio
, com
voltas e com uma corrente
, ambas no mesmo plano.
(a) Obtenha a expressão para a indutância mútua deste arranjo assumindo
.
(a) Obtenha a expressão para a indutância mútua deste arranjo assumindo
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos duas bobinas circulares coaxiais:
- Bobina 1: Maior, raio $ R_1 $, com $ N_1 $ voltas.
- Bobina 2: Menor, raio $ R_2 $, com $ N_2 $ voltas.
- A corrente na bobina 1 é $ i_1 $.
- A condição é que $ R_1 \gg R_2 $ (a bobina maior é muito maior que a menor).
A pergunta é para encontrarmos a indutância mútua desse arranjo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre indutância mútua e como calcular o fluxo magnético entre essas bobinas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é indutância mútua. Ela mede como uma corrente em uma bobina (bobina 1) induz um fluxo magnético através de outra bobina (bobina 2). A fórmula geral para a indutância mútua $ M $ é:
onde $ \Phi_{21} $ é o fluxo magnético através da bobina 2 devido à corrente $ I_1 $ na bobina 1.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o fluxo magnético $ \Phi_{21} $. O fluxo magnético é dado por:
onde:
- $ N_2 $ é o número de voltas da bobina 2,
- $ B $ é o campo magnético produzido pela bobina 1,
- $ A $ é a área da bobina 2.
Como $ R_1 \gg R_2 $, podemos considerar que o campo magnético $ B $ na região da bobina 2 é aproximadamente o campo de um díplo dipolo magnético no centro.
Passo 4
O campo magnético no centro de uma bobina circular com $ N $ voltas e corrente $ I $ é dado por:
onde:
- $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ($ 4\pi \times 10^{-7} , T\cdotm/A $),
- $ N $ é o número de voltas,
- $ I $ é a corrente,
- $ R $ é o raio da bobina.
Como temos a bobina 1 com $ N_1 $ voltas e corrente $ i_1 $, o campo magnético no centro é:
Passo 5
Agora, calculamos o fluxo magnético $ \Phi_{21} $:
A área $ A_2 $ da bobina 2 é:
Substituindo $ B_1 $:
Passo 6
Agora, usando a fórmula da indutância mútua $ M $:
Substituímos $ \Phi_{21} $:
Simplificando $ i_1 $:
Passo 7
Prontinho! A expressão para a indutância mútua $ M $ desse arranjo é:
Resposta
A indutância mútua do arranjo é: