Considere \boldsymbol{X}=\left(X_{1}, X_{2}\right) um vetor aleatório absolutamente contínuo com função densidade de probabilidade f_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x}) e \mathcal{X}=\mathbb{R}^{2}.
Mostre que as densidades de Y_{1}=X_{2}-X_{1} e Y_{2}=X_{2} / X_{1}\left(X_{1} \neq 0\right. q.c.), são dadas, respectivamente por:
f_{Y_{1}}\left(y_{1}\right)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{\boldsymbol{X}}\left(y_{1}+x_{2}, x_{2}\right) d x_{2}
e
f_{Y_{2}}\left(y_{2}\right)=\int_{-\infty}^{\infty}\left|x_{1}\right| f_{\boldsymbol{X}}\left(x_{1}, x_{1} y_{2}\right) d x_{1}
Passo 1
O enunciado dá um vetor aleatório absolutamente contínuo \boldsymbol{X}=(X_{1},X_{2}) com densidade conjunta f_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x}) definida em \mathcal{X}=\mathbb{R}^{2}. Define-se
Y_{1}=X_{2}-X_{1};
Y_{2}=X_{2}/X_{1} (com X_{1}\neq 0 quase certamente).
O que se pede: obter as densidades marginais de Y_{1} e Y_{2}, isto é f_{Y_{1}}(y_{1}) e f_{Y_{2}}(y_{2}), escrevendo-as como integrais envolvendo f_{\boldsymbol{X}}.
Informações relevantes dadas:
a densidade conjunta f_{\boldsymbol{X}}(x_{1},x_{2}) é conhecida;
\boldsymbol{X} é absolutamente contínuo (logo pode usar mudança de variáveis e marginalização por integração);
domínio é todo \mathbb{R}^{2} (exceto que para Y_{2} deve-se cuidar de x_{1}=0, que tem massa zero).
Passo 2
Estratégia geral (ferramenta que vamos usar): para achar a densidade de uma função de variáveis aleatórias, é comum
formar uma transformação de variáveis do espaço (X_{1},X_{2}) para um novo par (Y,\;U) em que Y é a variável de interesse e U é um “auxiliar” escolhido de forma conveniente;
calcular a densidade conjunta de (Y,U) pela regra da mudança de variáveis (usando o determinante jacobiano da inversa);
marginalizar (integrar) a densidade conjunta em U para obter a densidade de Y.
Vou ensinar passo a passo o uso dessa técnica para cada Y_i. Antes, uma breve explicação do jacobiano:
Se fazemos a transformação invertível (x_{1},x_{2}) \mapsto (y,u) com inversa (y,u)\mapsto(x_{1},x_{2}), então a densidade conjunta transforma como
(Atenção: se alguém escrever a forma com f_{\boldsymbol{X}}(y_{1}+x_{2},x_{2}), essa forma corresponde à definição Y_{1}=X_{1}-X_{2}. Para a definição dada Y_{1}=X_{2}-X_{1} a forma correta é a que acabamos de obter.)]
Passo 4
Escolheu-se U de modo que a transformação seja invertível e simples.
Calculou-se a inversa para expressar x_{1},x_{2} em função de y_{1},u.
Computou-se o jacobiano da inversa; aqui deu módulo 1, o que simplifica a expressão.
Obteve-se a densidade conjunta de (Y_{1},U) substituindo a inversa e multiplicando pelo jacobiano absoluto.
Finalmente integrou-se sobre U para “eliminar” a variável auxiliar e ficar só com a densidade de Y_{1}.
Passo 5
Agora para Y_{2}=X_{2}/X_{1} a escolha natural do auxiliar é T=X_{1} (vou chamar de t a variável auxiliar). Definimos a transformação
y_{2}=\frac{x_{2}}{x_{1}},\qquad t=x_{1}.
Inversa: dada (y_{2},t) obtemos
x_{1}=t,\qquad x_{2}=t\,y_{2}.
Jacobiano da inversa (matriz das derivadas parciais de (x_{1},x_{2}) em relação a (y_{2},t)):
Técnica prática: sempre escolha como auxiliar uma das coordenadas originais para deixar a transformação invertível simples.
Lembre-se de calcular o jacobiano da inversa (não confundir com jacobiano direto); o que aparece na fórmula é o módulo do determinante da matriz \partial(x_{1},x_{2})/\partial(y,u).
Para obter a densidade de Y integre a densidade conjunta transformada sobre a variável auxiliar.
Força — você já sabe agora como fazer esse tipo de mudança de variável na prova: escolha auxiliar, encontre inversa, calcule jacobiano, substitua na densidade conjunta e integre.