Considere \boldsymbol{X}=\left(X_{1}, X_{2}\right) um vetor aleatório absolutamente contínuo com função densidade de probabilidade f_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x}) e \mathcal{X}=\mathbb{R}^{2}.
Mostre que as densidades de Y_{1}=X_{2}-X_{1} e Y_{2}=X_{2} / X_{1}\left(X_{1} \neq 0\right. q.c.), são dadas, respectivamente por:
f_{Y_{1}}\left(y_{1}\right)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{\boldsymbol{X}}\left(y_{1}+x_{2}, x_{2}\right) d x_{2}
e
f_{Y_{2}}\left(y_{2}\right)=\int_{-\infty}^{\infty}\left|x_{1}\right| f_{\boldsymbol{X}}\left(x_{1}, x_{1} y_{2}\right) d x_{1}

Passo 1

O enunciado dá um vetor aleatório absolutamente contínuo \boldsymbol{X}=(X_{1},X_{2}) com densidade conjunta f_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x}) definida em \mathcal{X}=\mathbb{R}^{2}. Define-se
  • Y_{1}=X_{2}-X_{1};
  • Y_{2}=X_{2}/X_{1} (com X_{1}\neq 0 quase certamente).
O que se pede: obter as densidades marginais de Y_{1} e Y_{2}, isto é f_{Y_{1}}(y_{1}) e f_{Y_{2}}(y_{2}), escrevendo-as como integrais envolvendo f_{\boldsymbol{X}}.
Informações relevantes dadas:
  • a densidade conjunta f_{\boldsymbol{X}}(x_{1},x_{2}) é conhecida;
  • \boldsymbol{X} é absolutamente contínuo (logo pode usar mudança de variáveis e marginalização por integração);
  • domínio é todo \mathbb{R}^{2} (exceto que para Y_{2} deve-se cuidar de x_{1}=0, que tem massa zero).

Passo 2

Estratégia geral (ferramenta que vamos usar): para achar a densidade de uma função de variáveis aleatórias, é comum
  1. formar uma transformação de variáveis do espaço (X_{1},X_{2}) para um novo par (Y,\;U) em que Y é a variável de interesse e U é um “auxiliar” escolhido de forma conveniente;
  2. calcular a densidade conjunta de (Y,U) pela regra da mudança de variáveis (usando o determinante jacobiano da inversa);
  3. marginalizar (integrar) a densidade conjunta em U para obter a densidade de Y.
Vou ensinar passo a passo o uso dessa técnica para cada Y_i. Antes, uma breve explicação do jacobiano:
  • Se fazemos a transformação invertível (x_{1},x_{2}) \mapsto (y,u) com inversa (y,u)\mapsto(x_{1},x_{2}), então a densidade conjunta transforma como
f_{Y,U}(y,u)=f_{X_{1},X_{2}}(x_{1}(y,u),x_{2}(y,u))\cdot\left|\det\!\left(\frac{\partial(x_{1},x_{2})}{\partial(y,u)}\right)\right|.
  • O determinante acima é o jacobiano da inversa (matriz das derivadas parciais de x_i em relação a y,u). Sempre tomar o valor absoluto.

Passo 3

Escolha conveniente do auxiliar: tome U=X_{2}. Assim a transformação é
y_{1}=x_{2}-x_{1},\qquad u=x_{2}.
Agora encontramos a inversa explicitamente (resolver para x_{1},x_{2} em função de y_{1},u):
x_{1}=u-y_{1},\qquad x_{2}=u.
Formamos a matriz jacobiana da inversa:
\frac{\partial(x_{1},x_{2})}{\partial(y_{1},u)} = \begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\partial x_{1}}{\partial y_{1}} & \displaystyle\frac{\partial x_{1}}{\partial u}\\[6pt] \displaystyle\frac{\partial x_{2}}{\partial y_{1}} & \displaystyle\frac{\partial x_{2}}{\partial u} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1\\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.
O determinante é \det = (-1)\cdot 1 - 0\cdot 1 = -1. Tomando valor absoluto obtemos |\det|=1.
Logo a densidade conjunta de (Y_{1},U) é, pelos passos da mudança de variáveis,
f_{Y_{1},U}(y_{1},u) = f_{\boldsymbol{X}}(x_{1},x_{2})\big|_{x_{1}=u-y_{1},\,x_{2}=u}\cdot 1 = f_{\boldsymbol{X}}(u-y_{1},\,u).
Para obter a densidade marginal de Y_{1} integramos em u\in\mathbb{R}:
f_{Y_{1}}(y_{1}) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{Y_{1},U}(y_{1},u)\,du = \int_{-\infty}^{\infty} f_{\boldsymbol{X}}(u-y_{1},\,u)\,du.
Observação sobre nomes de variável: u é variável de integração dummy; se preferir chamar de x_{2} obtemos a forma
f_{Y_{1}}(y_{1})=\int_{-\infty}^{\infty} f_{\boldsymbol{X}}\big(x_{2}-y_{1},\,x_{2}\big)\,dx_{2}.
(Atenção: se alguém escrever a forma com f_{\boldsymbol{X}}(y_{1}+x_{2},x_{2}), essa forma corresponde à definição Y_{1}=X_{1}-X_{2}. Para a definição dada Y_{1}=X_{2}-X_{1} a forma correta é a que acabamos de obter.)]

Passo 4

  • Escolheu-se U de modo que a transformação seja invertível e simples.
  • Calculou-se a inversa para expressar x_{1},x_{2} em função de y_{1},u.
  • Computou-se o jacobiano da inversa; aqui deu módulo 1, o que simplifica a expressão.
  • Obteve-se a densidade conjunta de (Y_{1},U) substituindo a inversa e multiplicando pelo jacobiano absoluto.
  • Finalmente integrou-se sobre U para “eliminar” a variável auxiliar e ficar só com a densidade de Y_{1}.

Passo 5

Agora para Y_{2}=X_{2}/X_{1} a escolha natural do auxiliar é T=X_{1} (vou chamar de t a variável auxiliar). Definimos a transformação
y_{2}=\frac{x_{2}}{x_{1}},\qquad t=x_{1}.
Inversa: dada (y_{2},t) obtemos
x_{1}=t,\qquad x_{2}=t\,y_{2}.
Jacobiano da inversa (matriz das derivadas parciais de (x_{1},x_{2}) em relação a (y_{2},t)):
\frac{\partial(x_{1},x_{2})}{\partial(y_{2},t)} = \begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\partial x_{1}}{\partial y_{2}} & \displaystyle\frac{\partial x_{1}}{\partial t}\\[6pt] \displaystyle\frac{\partial x_{2}}{\partial y_{2}} & \displaystyle\frac{\partial x_{2}}{\partial t} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\[4pt] t & y_{2} \end{pmatrix}.
O determinante é 0\cdot y_{2} - 1\cdot t = -t. O módulo é |-t|=|t|. Portanto a densidade conjunta de (Y_{2},T) é
f_{Y_{2},T}(y_{2},t) = f_{\boldsymbol{X}}(x_{1},x_{2})\big|_{x_{1}=t,\,x_{2}=t y_{2}}\cdot |t| = |t|\, f_{\boldsymbol{X}}\big(t,\,t y_{2}\big).
Agora marginalizamos em t\in\mathbb{R} (lembrando que a hipótese X_{1}\neq 0 q.c. apenas garante que o ponto t=0 não contribui):
f_{Y_{2}}(y_{2}) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{Y_{2},T}(y_{2},t)\,dt = \int_{-\infty}^{\infty} |t|\, f_{\boldsymbol{X}}\big(t,\,t y_{2}\big)\,dt.
Substituindo t por x_{1} (variável dummy), obtemos a forma pedida:
f_{Y_{2}}(y_{2})=\int_{-\infty}^{\infty} |x_{1}|\, f_{\boldsymbol{X}}\big(x_{1},\,x_{1} y_{2}\big)\,dx_{1}.]

Passo 6

  • Técnica prática: sempre escolha como auxiliar uma das coordenadas originais para deixar a transformação invertível simples.
  • Lembre-se de calcular o jacobiano da inversa (não confundir com jacobiano direto); o que aparece na fórmula é o módulo do determinante da matriz \partial(x_{1},x_{2})/\partial(y,u).
  • Para obter a densidade de Y integre a densidade conjunta transformada sobre a variável auxiliar.
Força — você já sabe agora como fazer esse tipo de mudança de variável na prova: escolha auxiliar, encontre inversa, calcule jacobiano, substitua na densidade conjunta e integre.

Resposta

f_{Y_{1}}(y_{1})=\int_{-\infty}^{\infty} f_{\boldsymbol{X}}\big(x_{2}-y_{1},\,x_{2}\big)\,dx_{2}
f_{Y_{2}}(y_{2})=\int_{-\infty}^{\infty}\big|x_{1}\big|\, f_{\boldsymbol{X}}\big(x_{1},\,x_{1}y_{2}\big)\,dx_{1}

Exercícios relacionados