Considere \boldsymbol{X}=\left(X_{1}, X_{2}\right) um vetor aleatório absolutamente contínuo com função densidade de probabilidade f_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x}) e \mathcal{X}=(a, b) \times(a, b).
Determine a função densidade de probabilidade de Y=X_{1}+X_{2}.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
Foi dado um vetor aleatório absolutamente contínuo \boldsymbol{X}=(X_{1},X_{2}) com densidade conjunta f_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x}).
O espaço suporte é \mathcal{X}=(a,b)\times(a,b). Ou seja, X_{1} e X_{2} só assumem valores em (a,b).
O que se pede: determinar a densidade de probabilidade de Y=X_{1}+X_{2}, isto é, encontrar f_{Y}(y) para todo y.
Passo 2
Ideia geral do método (sem calcular ainda): para obter a densidade de Y usa-se a técnica de mudança de variáveis seguida de marginalização. Mais concretamente, considera-se uma transformação invertível das variáveis (X_{1},X_{2}) para um par (U,V) onde V seja a soma desejada Y. Uma escolha natural é
U=X_{1},\qquad V=X_{1}+X_{2}.
Vou explicar como usar essa transformação para obter a densidade conjunta de (U,V) e então marginalizar em V para obter f_{Y}.
Passo 3
Expressão inversa da transformação e cálculo do jacobiano:
A transformação inversa é
X_{1}=U,\qquad X_{2}=V-U.
A matriz jacobiana da transformação inversa (U,V)\mapsto(X_{1},X_{2}) é
\frac{\partial(x_{1},x_{2})}{\partial(u,v)} = \begin{pmatrix} \partial x_{1}/\partial u & \partial x_{1}/\partial v\\[4pt] \partial x_{2}/\partial u & \partial x_{2}/\partial v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] -1 & 1 \end{pmatrix}.
O determinante vale \det=1. Como o valor absoluto do jacobiano é 1, a densidade conjunta transforma-se simplesmente pela substituição de variáveis sem fatores multiplicativos extras (além do valor absoluto do determinante, que é 1).]
Passo 4
Densidade conjunta de (U,V) e marginalização para obter f_{Y}:
Pela fórmula de mudança de variáveis, para pontos (u,v) que correspondem a (x_{1},x_{2})=(u,v-u) dentro do suporte \mathcal{X}, tem-se
Agora determinar o conjunto de integração: a condição (u,v-u)\in\mathcal{X} equivale a
u\in(a,b)\quad\text{e}\quad v-u\in(a,b).
A segunda condição é u\in(v-b,\;v-a). Portanto u deve pertencer à interseção (a,b)\cap(v-b,v-a). Essa interseção é não vazia exatamente quando v\in(2a,2b). Para tais v os limites de integração são
u\in\bigl(\max(a,\,v-b),\;\min(b,\,v-a)\bigr).
Conclusão intermediária (fórmula integral): para v\in(2a,2b),
Interpretações e caso independente (exemplo pedagógico):
A fórmula acima é a forma geral: integrar a densidade conjunta ao longo da reta x_{1}+x_{2}=v dentro do quadrado suporte.
Se X_{1} e X_{2} forem independentes, então f_{\boldsymbol{X}}(x_{1},x_{2})=f_{X_{1}}(x_{1})\,f_{X_{2}}(x_{2}) e a expressão fica a clássica convolução
Exemplo concreto e simples para fixar: se X_{1} e X_{2} são independentes e uniformes em (a,b), então f_{X_{1}}(x)=f_{X_{2}}(x)=\dfrac{1}{b-a} em (a,b). Substituindo na convolução obtém-se a densidade triangular clássica:
Pequeno incentivo: essa técnica (transformação + jacobiano + marginalização) é muito útil em provas — pratique com somas, diferenças e razões; dá para aplicar de cabeça quando o jacobiano é simples.]