Seja X_{1}, X_{2} \stackrel{\mathrm{iid}}{\sim} \mathcal{U}(a, b).
Determine a função densidade de probabilidade de Y=X_{1}+X_{2}.
Passo 1
O enunciado dá duas variáveis aleatórias X_{1} e X_{2} independentes e identicamente distribuídas com distribuição uniforme no intervalo [a,b], isto é X_{1},X_{2}\stackrel{\mathrm{iid}}{\sim}\mathcal{U}(a,b). O que se pede é a função densidade de probabilidade (pdf) de Y=X_{1}+X_{2}.
Informações relevantes fornecidas:
As variáveis X_{1} e X_{2} são independentes.
X_{1} e X_{2} têm a mesma distribuição uniforme no intervalo [a,b].
Os parâmetros a e b são os limites do intervalo, com a<b.
A variável de interesse é Y=X_{1}+X_{2}.
Quer-se a função densidade de probabilidade de Y em forma explícita (função de y), incluindo suporte e expressão peça a peça.
Passo 2
Primeiro, escrever a densidade de cada X_i\). Para \(X\sim\mathcal{U}(a,b)\) a densidade é constante no intervalo \([a,b]\) e nula fora. Em notação:
\[f_X(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & a\le x\le b,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
Aqui f_X(x)\] representa a densidade de \(X_{1} (e também de X_{2}), e \dfrac{1}{b-a} é a altura da densidade uniforme assegurando que a área total seja 1.]
Passo 3
Para somas de variáveis independentes, usamos a fórmula da convolução para obter a densidade do somatório. Se Y=X_{1}+X_{2} e X_1,X_2 são independentes com densidades f_{X_1} e f_{X_2}, então
Essa é a definição básica de convolução de densidades; aqui ela vale porque X_1 e X_2 são independentes.
Passo 4
Substituir a densidade uniforme na fórmula da convolução. Como f_{X_1}(x)=f_{X_2}(x)=\dfrac{1}{b-a} para x\in[a,b] e zero fora, o integrando só é não nulo quando simultaneamente x\in[a,b] e y-x\in[a,b]. Logo
Integrando a constante \dfrac{1}{(b-a)^2} sobre o intervalo de integração obtemos
f_Y(y)=\frac{\min(b,y-a)-\max(a,y-b)}{(b-a)^2},
sempre que o valor dentro do numerador for positivo; caso contrário a densidade é zero. Esse formato \min-\max é prático, mas vamos transformar em uma expressão peça a peça mais usual, identificando os diferentes intervalos de y.
Passo 6
Determinar o suporte de Y e as expressões em cada região. Como X_1 e X_2 variam em [a,b], a soma Y varia em [2a,2b]. Há dois regimes naturais separados pelo valor a+b.
Para 2a\le y < a+b:
Observa-se que y-a < b (pois y<a+b) e y-b < a (pois y<a+b\Rightarrow y-b<a). Portanto
Observação: a fórmula no ponto y=a+b é redundante pois as duas expressões contínuas nas faixas à esquerda e à direita coincidem em y=a+b; assim muitas vezes escreve-se simplesmente
Portanto a densidade está corretamente normalizada.
Passo 9
Interpretação e comentários finais rápidos: a densidade de Y é uma distribuição triangular no intervalo [2a,2b], com pico no ponto y=a+b. Essa é o caso especial de soma de duas variáveis uniformes idênticas (às vezes chamada de Irwin–Hall para n=2). A média é \mathbb{E}[Y]=\mathbb{E}[X_1]+\mathbb{E}[X_2]=a+b e a variância é \mathrm{Var}(Y)=2\cdot\mathrm{Var}(X)=2\cdot\frac{(b-a)^2}{12}=\frac{(b-a)^2}{6}.