Seja X_{1}, X_{2} \stackrel{\mathrm{iid}}{\sim} \mathcal{U}(a, b).
Determine a função densidade de probabilidade de Y=X_{1}+X_{2}.

Passo 1

O enunciado dá duas variáveis aleatórias X_{1} e X_{2} independentes e identicamente distribuídas com distribuição uniforme no intervalo [a,b], isto é X_{1},X_{2}\stackrel{\mathrm{iid}}{\sim}\mathcal{U}(a,b). O que se pede é a função densidade de probabilidade (pdf) de Y=X_{1}+X_{2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • As variáveis X_{1} e X_{2} são independentes.
  • X_{1} e X_{2} têm a mesma distribuição uniforme no intervalo [a,b].
  • Os parâmetros a e b são os limites do intervalo, com a<b.
  • A variável de interesse é Y=X_{1}+X_{2}.
  • Quer-se a função densidade de probabilidade de Y em forma explícita (função de y), incluindo suporte e expressão peça a peça.

Passo 2

Primeiro, escrever a densidade de cada X_i\). Para \(X\sim\mathcal{U}(a,b)\) a densidade é constante no intervalo \([a,b]\) e nula fora. Em notação: \[f_X(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & a\le x\le b,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
Aqui f_X(x)\] representa a densidade de \(X_{1} (e também de X_{2}), e \dfrac{1}{b-a} é a altura da densidade uniforme assegurando que a área total seja 1.]

Passo 3

Para somas de variáveis independentes, usamos a fórmula da convolução para obter a densidade do somatório. Se Y=X_{1}+X_{2} e X_1,X_2 são independentes com densidades f_{X_1} e f_{X_2}, então
f_Y(y)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{X_1}(x)\,f_{X_2}(y-x)\,dx.
Essa é a definição básica de convolução de densidades; aqui ela vale porque X_1 e X_2 são independentes.

Passo 4

Substituir a densidade uniforme na fórmula da convolução. Como f_{X_1}(x)=f_{X_2}(x)=\dfrac{1}{b-a} para x\in[a,b] e zero fora, o integrando só é não nulo quando simultaneamente x\in[a,b] e y-x\in[a,b]. Logo
f_Y(y)=\int_{x\in[a,b]\\ \cap\\ \{y-x\in[a,b]\}} \frac{1}{(b-a)^2}\,dx.
As desigualdades y-x\in[a,b] equivalem a y-b\le x\le y-a. Assim os limites de integração são
x\in\bigl[a,b\bigr]\cap\bigl[y-b,y-a\bigr]=\bigl[\max(a,y-b),\\ \min(b,y-a)\bigr].

Passo 5

Integrando a constante \dfrac{1}{(b-a)^2} sobre o intervalo de integração obtemos
f_Y(y)=\frac{\min(b,y-a)-\max(a,y-b)}{(b-a)^2},
sempre que o valor dentro do numerador for positivo; caso contrário a densidade é zero. Esse formato \min-\max é prático, mas vamos transformar em uma expressão peça a peça mais usual, identificando os diferentes intervalos de y.

Passo 6

Determinar o suporte de Y e as expressões em cada região. Como X_1 e X_2 variam em [a,b], a soma Y varia em [2a,2b]. Há dois regimes naturais separados pelo valor a+b.
  1. Para 2a\le y < a+b:
  • Observa-se que y-a < b (pois y<a+b) e y-b < a (pois y<a+b\Rightarrow y-b<a). Portanto
\min(b,y-a)=y-a,\qquad \max(a,y-b)=a.
Substituindo em f_Y(y):
f_Y(y)=\frac{(y-a)-a}{(b-a)^2}=\frac{y-2a}{(b-a)^2}.
  1. Para y=a+b:
  • Aqui y-a=b e y-b=a, logo o comprimento do intervalo de integração é b-a e
f_Y(a+b)=\frac{b-a}{(b-a)^2}=\frac{1}{b-a}.
(Esse valor coincide com os limites das fórmulas das duas regiões adjacentes.)
  1. Para a+b< y\le 2b:
  • Agora y-a>b (pois y>a+b) e y-b>a, logo
\min(b,y-a)=b,\qquad \max(a,y-b)=y-b.
Substituindo:
f_Y(y)=\frac{b-(y-b)}{(b-a)^2}=\frac{2b-y}{(b-a)^2}.
  1. Para y<2a ou y>2b a interseção é vazia e f_Y(y)=0.

Passo 7

Juntando tudo em uma expressão peça a peça (forma final):
f_Y(y)=\begin{cases} \dfrac{y-2a}{(b-a)^2}, & 2a\le y< a+b,\\[8pt] \dfrac{1}{b-a}, & y=a+b,\\[6pt] \dfrac{2b-y}{(b-a)^2}, & a+b< y\le 2b,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
Observação: a fórmula no ponto y=a+b é redundante pois as duas expressões contínuas nas faixas à esquerda e à direita coincidem em y=a+b; assim muitas vezes escreve-se simplesmente
f_Y(y)=\begin{cases} \dfrac{y-2a}{(b-a)^2}, & 2a\le y\le a+b,\\[6pt] \dfrac{2b-y}{(b-a)^2}, & a+b\le y\le 2b,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
Essa é a forma usual contínua de uma distribuição triangular.]

Passo 8

Verificação rápida de normalização (para ganhar confiança): integrar f_Y em [2a,2b]
\int_{2a}^{a+b}\frac{y-2a}{(b-a)^2}\,dy+\int_{a+b}^{2b}\frac{2b-y}{(b-a)^2}\,dy =\frac{1}{(b-a)^2}\left[\tfrac{1}{2}(b-a)^2+\tfrac{1}{2}(b-a)^2\right]=1.
Portanto a densidade está corretamente normalizada.

Passo 9

Interpretação e comentários finais rápidos: a densidade de Y é uma distribuição triangular no intervalo [2a,2b], com pico no ponto y=a+b. Essa é o caso especial de soma de duas variáveis uniformes idênticas (às vezes chamada de Irwin–Hall para n=2). A média é \mathbb{E}[Y]=\mathbb{E}[X_1]+\mathbb{E}[X_2]=a+b e a variância é \mathrm{Var}(Y)=2\cdot\mathrm{Var}(X)=2\cdot\frac{(b-a)^2}{12}=\frac{(b-a)^2}{6}.

Resposta

f_Y(y)=\begin{cases} \dfrac{y-2a}{(b-a)^2}, & 2a\le y\le a+b,\\[8pt] \dfrac{2b-y}{(b-a)^2}, & a+b\le y\le 2b,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á]

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