Considere \boldsymbol{X}=\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right) um vetor aleatório com função distribuição acumulada F_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x}).
Sejam as propriedades:
P1. F_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x}) é monótona não-decrescente em cada componente.
Se n=2 mostre que:
\mathbb{P}\left[a_{1}<X_{1} \leq b_{1}, a_{2}<X_{2} \leq b_{2}\right]=F_{\boldsymbol{X}}\left(b_{1}, b_{2}\right)-F_{\boldsymbol{X}}\left(b_{1}, a_{2}\right)-F_{\boldsymbol{X}}\left(a_{1}, b_{2}\right)+F_{\boldsymbol{X}}\left(a_{1}, a_{2}\right) .

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que ele pede:
  • É dado um vetor aleatório \boldsymbol{X}=(X_{1},X_{2}) com função distribuição acumulada conjunta F_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x}).
  • Também é dada a propriedade P1: F_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x}) é monótona não-decrescente em cada componente.
  • O que se pede: mostrar que, para quaisquer números reais a_{1}<b_{1} e a_{2}<b_{2},
\mathbb{P}\left[a_{1}<X_{1} \leq b_{1},\; a_{2}<X_{2} \leq b_{2}\right] =F_{\boldsymbol{X}}\left(b_{1}, b_{2}\right)-F_{\boldsymbol{X}}\left(b_{1}, a_{2}\right)-F_{\boldsymbol{X}}\left(a_{1}, b_{2}\right)+F_{\boldsymbol{X}}\left(a_{1}, a_{2}\right).
  • Informação útil que usaremos: por definição
F_{\boldsymbol{X}}(x_{1},x_{2})=\mathbb{P}\big(X_{1}\le x_{1},\;X_{2}\le x_{2}\big).

Passo 2

Definir eventos úteis (escrever em termos de conjuntos) e ligar com a CDF:
Defina os seguintes eventos:
\begin{aligned} A &=\{X_{1}\le b_{1},\;X_{2}\le b_{2}\},\\\ B &=\{X_{1}\le a_{1},\;X_{2}\le b_{2}\},\\\ C &=\{X_{1}\le b_{1},\;X_{2}\le a_{2}\},\\\ D &=\{X_{1}\le a_{1},\;X_{2}\le a_{2}\}. \end{aligned}
Pela definição da função distribuição conjunta:
\begin{aligned} \mathbb{P}(A)&=F_{\boldsymbol{X}}(b_{1},b_{2}),\\\ \mathbb{P}(B)&=F_{\boldsymbol{X}}(a_{1},b_{2}),\\\ \mathbb{P}\text{(C)}&=F_{\boldsymbol{X}}(b_{1},a_{2}),\\\ \mathbb{P}(D)&=F_{\boldsymbol{X}}(a_{1},a_{2}). \end{aligned}

Passo 3

Escrever o evento que nos interessa em termos desses eventos:
O evento que queremos é
E=\{a_{1}<X_{1}\le b_{1},\;a_{2}<X_{2}\le b_{2}\}.
Observe que
\{a_{1}<X_{1}\le b_{1}\}=\{X_{1}\le b_{1}\}\setminus\{X_{1}\le a_{1}\}, \qquad \{a_{2}<X_{2}\le b_{2}\}=\{X_{2}\le b_{2}\}\setminus\{X_{2}\le a_{2}\}.
Portanto, em termos dos eventos definidos acima:
E = A \setminus (B\cup C).
(Isto significa: estamos na caixa até (b_{1},b_{2}) removendo tudo que está à esquerda de a_{1} ou abaixo de a_{2}.)

Passo 4

Converter a expressão em identidade com indicadores (ou usar inclusão-exclusão):
A identidade de conjuntos que vamos usar (fácil de verificar com um diagrama de Venn ou ponto a ponto) é
\mathbf{1}_{E}=\mathbf{1}_{A}-\mathbf{1}_{B}-\mathbf{1}_{C}+\mathbf{1}_{D},
onde \mathbf{1}_{S} é a função indicadora do conjunto S. Explicação rápida ponto a ponto:
  • Se um ponto pertence a E então pertence a A mas não a B nem a C: o lado direito dá 1-0-0+0=1.
  • Se pertence só a B (ou só a C) o lado direito dá 1-1-0+0=0 (ou 1-0-1+0=0), logo não está em E.
  • Se pertence a D (interseção de B e C) o lado direito dá 1-1-1+1=0.
  • Se não pertence a A o lado direito também dá 0.
    Assim a igualdade ponto a ponto vale.

Passo 5

Tomar expectativa (probabilidade) da identidade dos indicadores:
Tomando esperança em ambos os lados da identidade do passo anterior obtemos
\mathbb{P}(E)=\mathbb{E}[\mathbf{1}_{E}] =\mathbb{E}[\mathbf{1}_{A}]-\mathbb{E}[\mathbf{1}_{B}]-\mathbb{E}[\mathbf{1}_{C}]+\mathbb{E}[\mathbf{1}_{D}].
Mas \mathbb{E}[\mathbf{1}_{S}]=\mathbb{P}(S) para qualquer evento S. Usando as igualdades do passo 2:
\mathbb{P}(E)=F_{\boldsymbol{X}}(b_{1},b_{2})-F_{\boldsymbol{X}}(a_{1},b_{2})-F_{\boldsymbol{X}}(b_{1},a_{2})+F_{\boldsymbol{X}}(a_{1},a_{2}).

Passo 6

Organizar os termos para coincidir com a forma pedida e comentar sobre monotonicidade:
Reescrevendo os termos do passo anterior (a ordem de subtração dos dois termos do meio é indiferente),
\mathbb{P}\big[a_{1}<X_{1}\le b_{1},\;a_{2}<X_{2}\le b_{2}\big] =F_{\boldsymbol{X}}(b_{1},b_{2})-F_{\boldsymbol{X}}(b_{1},a_{2})-F_{\boldsymbol{X}}(a_{1},b_{2})+F_{\boldsymbol{X}}(a_{1},a_{2}).
A propriedade P1 (monotonicidade não-decrescente em cada componente) garante que as quantidades subtraídas fazem sentido e que a probabilidade obtida é não negativa (diferenças de CDFs em retângulos produzem probabilidades).

Passo 7

Comentário final didático e um exemplo rápido (ilustrativo):
Intuitivamente: F(b_{1},b_{2}) é a probabilidade da grande caixa (-\infty,b_{1}]\times(-\infty,b_{2}]. Subtrai-se a caixa da esquerda (-\infty,a_{1}]\times(-\infty,b_{2}] e a caixa de baixo (-\infty,b_{1}]\times(-\infty,a_{2}]. Como a interseção dessas duas subtrações foi removida duas vezes, soma-se de volta a interseção (-\infty,a_{1}]\times(-\infty,a_{2}]. Isso é exatamente a ideia de inclusão-exclusão aplicada a retângulos.

Resposta

\mathbb{P}\left[a_{1}<X_{1} \leq b_{1},\; a_{2}<X_{2} \leq b_{2}\right]=F_{\boldsymbol{X}}\left(b_{1}, b_{2}\right)-F_{\boldsymbol{X}}\left(b_{1}, a_{2}\right)-F_{\boldsymbol{X}}\left(a_{1}, b_{2}\right)+F_{\boldsymbol{X}}\left(a_{1}, a_{2}\right).

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