Considere
um vetor aleatório com função distribuição acumulada
.
Sejam as propriedades:
P1.
é monótona não-decrescente em cada componente.
Se
mostre que:
Sejam as propriedades:
P1.
Se
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que ele pede:
- É dado um vetor aleatório
com função distribuição acumulada conjunta . - Também é dada a propriedade P1:
é monótona não-decrescente em cada componente. - O que se pede: mostrar que, para quaisquer números reais
e ,
- Informação útil que usaremos: por definição
Passo 2
Definir eventos úteis (escrever em termos de conjuntos) e ligar com a CDF:
Defina os seguintes eventos:
Pela definição da função distribuição conjunta:
Passo 3
Escrever o evento que nos interessa em termos desses eventos:
O evento que queremos é
Observe que
Portanto, em termos dos eventos definidos acima:
(Isto significa: estamos na caixa até
removendo tudo que está à esquerda de
ou abaixo de
.)
Passo 4
Converter a expressão em identidade com indicadores (ou usar inclusão-exclusão):
A identidade de conjuntos que vamos usar (fácil de verificar com um diagrama de Venn ou ponto a ponto) é
onde
é a função indicadora do conjunto
. Explicação rápida ponto a ponto:
- Se um ponto pertence a
então pertence a mas não a nem a : o lado direito dá . - Se pertence só a
(ou só a ) o lado direito dá (ou ), logo não está em . - Se pertence a
(interseção de e ) o lado direito dá . - Se não pertence a
o lado direito também dá .
Assim a igualdade ponto a ponto vale.
Passo 5
Tomar expectativa (probabilidade) da identidade dos indicadores:
Tomando esperança em ambos os lados da identidade do passo anterior obtemos
Mas
para qualquer evento
. Usando as igualdades do passo 2:
Passo 6
Organizar os termos para coincidir com a forma pedida e comentar sobre monotonicidade:
Reescrevendo os termos do passo anterior (a ordem de subtração dos dois termos do meio é indiferente),
A propriedade P1 (monotonicidade não-decrescente em cada componente) garante que as quantidades subtraídas fazem sentido e que a probabilidade obtida é não negativa (diferenças de CDFs em retângulos produzem probabilidades).
Passo 7
Comentário final didático e um exemplo rápido (ilustrativo):
Intuitivamente:
é a probabilidade da grande caixa
. Subtrai-se a caixa da esquerda
e a caixa de baixo
. Como a interseção dessas duas subtrações foi removida duas vezes, soma-se de volta a interseção
. Isso é exatamente a ideia de inclusão-exclusão aplicada a retângulos.