Considere \boldsymbol{X}=\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right) um vetor aleatório com função distribuição acumulada F_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x}).
Sejam as propriedades:
P3. Se \boldsymbol{X}=\left(\boldsymbol{X}_{1}, \boldsymbol{X}_{2}\right), em que \boldsymbol{X}_{1} é um vetor m \times 1, então
\lim _{x_{1} \rightarrow(\infty, \ldots, \infty)} F_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x})=F_{\boldsymbol{X}_{2}}\left(\boldsymbol{x}_{2}\right) .
Se n=2 mostre que:
\mathbb{P}\left[a_{1}<X_{1} \leq b_{1}, a_{2}<X_{2} \leq b_{2}\right]=F_{\boldsymbol{X}}\left(b_{1}, b_{2}\right)-F_{\boldsymbol{X}}\left(b_{1}, a_{2}\right)-F_{\boldsymbol{X}}\left(a_{1}, b_{2}\right)+F_{\boldsymbol{X}}\left(a_{1}, a_{2}\right) .

Passo 1

O enunciado dá um vetor aleatório \boldsymbol{X}=(X_{1},X_{2}) com função distribuição acumulada conjunta
F_{\boldsymbol{X}}(x_{1},x_{2})=\mathbb{P}\bigl(X_{1}\le x_{1},\,X_{2}\le x_{2}\bigr).
Foi também mencionada a propriedade P3 (marginalização por limite), que diz, em particular, que
\lim_{x_{1}\to\infty}F_{\boldsymbol{X}}(x_{1},x_{2})=F_{X_{2}}(x_{2}),
mas aqui vamos usar principalmente a definição da CDF conjunta.
O que precisa ser mostrado é a fórmula que dá a probabilidade do retângulo em termos da CDF conjunta:
\mathbb{P}\bigl(a_{1}<X_{1}\le b_{1},\;a_{2}<X_{2}\le b_{2}\bigr) =F_{\boldsymbol{X}}(b_{1},b_{2})-F_{\boldsymbol{X}}(b_{1},a_{2})-F_{\boldsymbol{X}}(a_{1},b_{2})+F_{\boldsymbol{X}}(a_{1},a_{2}).

Passo 2

Defina eventos úteis (são apenas maneiras de escrever conjuntos de pontos no plano (X_{1},X_{2})):
A=\{X_{1}\le b_{1},\;X_{2}\le b_{2}\},
B=\{X_{1}\le a_{1},\;X_{2}\le b_{2}\},
C=\{X_{1}\le b_{1},\;X_{2}\le a_{2}\},
D=\{X_{1}\le a_{1},\;X_{2}\le a_{2}\}.
Observe que A,B,C,D são retângulos no semieixo inferior (metade-inferior) do plano. Pela definição da CDF conjunta,
\mathbb{P}(A)=F_{\boldsymbol{X}}(b_{1},b_{2}),\quad \mathbb{P}(B)=F_{\boldsymbol{X}}(a_{1},b_{2}),
\mathbb{P}\text{(C)}=F_{\boldsymbol{X}}(b_{1},a_{2}),\quad \mathbb{P}(D)=F_{\boldsymbol{X}}(a_{1},a_{2}).

Passo 3

Escreva o evento de interesse
R=\{a_{1}<X_{1}\le b_{1},\;a_{2}<X_{2}\le b_{2}\}.
Geometricamente, R é o retângulo limitado por (a_{1},a_{2}) (não incluso em algum sentido) e (b_{1},b_{2}). Note que
A=\{X_{1}\le b_{1},X_{2}\le b_{2}\}
é o retângulo que vai até (b_{1},b_{2}) incluindo tudo abaixo e à esquerda; se de A retirarmos os pontos que têm X_{1}\le a_{1} (conjunto B) ou X_{2}\le a_{2} (conjunto C), sobra exatamente o retângulo R. Portanto, em termos de conjuntos:
R = A \setminus (B\cup C).

Passo 4

Use a fórmula de probabilidade para diferença e união (fórmula da inclusão-exclusão para probabilidade):
\mathbb{P}\bigl(A\setminus (B\cup C)\bigr) = \mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(B\cup C).
Aplicando inclusão-exclusão em \mathbb{P}(B\cup C)
\mathbb{P}(B\cup C)=\mathbb{P}(B)+\mathbb{P}\text{(C)}-\mathbb{P}(B\cap C).
Logo
\mathbb{P}(R)=\mathbb{P}(A)-\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}\text{(C)}+\mathbb{P}(B\cap C).

Passo 5

Observe que B\cap C é exatamente D, porque exigir simultaneamente X_{1}\le a_{1} e X_{2}\le a_{2} é a mesma condição de D. Substituindo as probabilidades pelas CDFs que identificámos no Passo 2 obtemos:
\mathbb{P}\bigl(a_{1}<X_{1}\le b_{1},\;a_{2}<X_{2}\le b_{2}\bigr) =F_{\boldsymbol{X}}(b_{1},b_{2})-F_{\boldsymbol{X}}(a_{1},b_{2})-F_{\boldsymbol{X}}(b_{1},a_{2})+F_{\boldsymbol{X}}(a_{1},a_{2}).

Passo 6

Comentário didático rápido e dica de prova: essa identidade é apenas a versão bidimensional da regra de inclusão-exclusão aplicada aos retângulos “até” um ponto. Na prática de prova, decorre sempre de escrever o retângulo pedido como diferença de retângulos do tipo \{X_{1}\le x_{1},X_{2}\le x_{2}\} e aplicar inclusão-exclusão. Se precisar marginalizar (por exemplo, obter \mathbb{P}(a_{1}<X_{1}\le b_{1}) a partir da CDF conjunta), pode usar a propriedade P3 fazendo um limite x_{2}\to\infty.

Resposta

\mathbb{P}\left[a_{1}<X_{1} \leq b_{1}, a_{2}<X_{2} \leq b_{2}\right]=F_{\boldsymbol{X}}\left(b_{1}, b_{2}\right)-F_{\boldsymbol{X}}\left(b_{1}, a_{2}\right)-F_{\boldsymbol{X}}\left(a_{1}, b_{2}\right)+F_{\boldsymbol{X}}\left(a_{1}, a_{2}\right).

Exercícios relacionados