Considere
um vetor aleatório com função distribuição acumulada
.
Sejam as propriedades:
P3. Se
, em que
é um vetor
, então
Se
mostre que:
Sejam as propriedades:
P3. Se
Passo 1
O enunciado dá um vetor aleatório
com função distribuição acumulada conjunta
Foi também mencionada a propriedade P3 (marginalização por limite), que diz, em particular, que
mas aqui vamos usar principalmente a definição da CDF conjunta.
O que precisa ser mostrado é a fórmula que dá a probabilidade do retângulo em termos da CDF conjunta:
O que precisa ser mostrado é a fórmula que dá a probabilidade do retângulo em termos da CDF conjunta:
Passo 2
Defina eventos úteis (são apenas maneiras de escrever conjuntos de pontos no plano
):
Observe que
são retângulos no semieixo inferior (metade-inferior) do plano. Pela definição da CDF conjunta,
Passo 3
Escreva o evento de interesse
Geometricamente,
é o retângulo limitado por
(não incluso em algum sentido) e
. Note que
é o retângulo que vai até
incluindo tudo abaixo e à esquerda; se de
retirarmos os pontos que têm
(conjunto
) ou
(conjunto
), sobra exatamente o retângulo
. Portanto, em termos de conjuntos:
Passo 4
Use a fórmula de probabilidade para diferença e união (fórmula da inclusão-exclusão para probabilidade):
Aplicando inclusão-exclusão em
dá
Logo
Passo 5
Observe que
é exatamente
, porque exigir simultaneamente
e
é a mesma condição de
. Substituindo as probabilidades pelas CDFs que identificámos no Passo 2 obtemos:
Passo 6
Comentário didático rápido e dica de prova: essa identidade é apenas a versão bidimensional da regra de inclusão-exclusão aplicada aos retângulos “até” um ponto. Na prática de prova, decorre sempre de escrever o retângulo pedido como diferença de retângulos do tipo
e aplicar inclusão-exclusão. Se precisar marginalizar (por exemplo, obter
a partir da CDF conjunta), pode usar a propriedade P3 fazendo um limite
.