Considere \boldsymbol{X}=\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right) um vetor aleatório com função distribuição acumulada F_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x}).
Sejam as propriedades:
P2. \lim _{x_{i} \rightarrow-\infty} F_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x})=0, \forall i=1, \ldots, n e \lim _{x \rightarrow(\infty, \ldots, \infty)} F_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x})=1.
Se n=2 mostre que:
\mathbb{P}\left[a_{1}<X_{1} \leq b_{1}, a_{2}<X_{2} \leq b_{2}\right]=F_{\boldsymbol{X}}\left(b_{1}, b_{2}\right)-F_{\boldsymbol{X}}\left(b_{1}, a_{2}\right)-F_{\boldsymbol{X}}\left(a_{1}, b_{2}\right)+F_{\boldsymbol{X}}\left(a_{1}, a_{2}\right) .

Passo 1

O que nos é dado e o que o problema pede (vou listar tudo direitinho).
  • Foi definido o vetor aleatório \boldsymbol{X}=(X_{1},X_{2}) e sua função distribuição acumulada F_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{x}).
  • Lembrete útil (definição): pela definição de função distribuição acumulada multivariada,
F_{\boldsymbol{X}}(x_{1},x_{2})=\mathbb{P}\bigl(X_{1}\le x_{1},\,X_{2}\le x_{2}\bigr).
  • O enunciado pede para mostrar que, para valores a_{1}<b_{1} e a_{2}<b_{2},
\mathbb{P}\bigl(a_{1}<X_{1}\le b_{1},\;a_{2}<X_{2}\le b_{2}\bigr)=F_{\boldsymbol{X}}\bigl(b_{1},b_{2}\bigr)-F_{\boldsymbol{X}}\bigl(b_{1},a_{2}\bigr)-F_{\boldsymbol{X}}\bigl(a_{1},b_{2}\bigr)+F_{\boldsymbol{X}}\bigl(a_{1},a_{2}\bigr).
  • Vou usar apenas a definição da CDF, álgebra de conjuntos (diferença e interseção) e propriedades básicas de probabilidade (aditividade finita e inclusão-exclusão). Nada de truque: passo a passo.

Passo 2

Organizar os eventos como conjuntos, para ver a relação entre eles (isso facilita a álgebra).
  • Defina os conjuntos
A_{1}=\{X_{1}\le a_{1}\},\qquad B_{1}=\{X_{1}\le b_{1}\},
A_{2}=\{X_{2}\le a_{2}\},\qquad B_{2}=\{X_{2}\le b_{2}\}.
  • Note que, porque a_{1}<b_{1} e a_{2}<b_{2}, vale
A_{1}\subset B_{1}\qquad\text{e}\qquad A_{2}\subset B_{2}.
  • O evento que queremos é
\{a_{1}<X_{1}\le b_{1},\;a_{2}<X_{2}\le b_{2}\}=(B_{1}\setminus A_{1})\cap(B_{2}\setminus A_{2}).
Explicando em palavras: para que X_{1} esteja entre a_{1} (estrito) e b_{1} (incluso) basta que esteja em B_{1} e não em A_{1}; mesma ideia para X_{2}.

Passo 3

Fazer a álgebra de conjuntos para expandir a interseção de diferenças.
  • Usando propriedades elementares de conjuntos (distributividade e diferença),
(B_{1}\setminus A_{1})\cap(B_{2}\setminus A_{2})=(B_{1}\cap B_{2})\setminus\bigl((A_{1}\cap B_{2})\cup(B_{1}\cap A_{2})\bigr).
  • Intuição rápida: um ponto está em ambos os intervalos (a_{1},b_{1}] e (a_{2},b_{2}] exatamente quando está em B_{1}\cap B_{2} mas não está nem em A_{1}\cap B_{2} (ou seja, não tem X_{1}\le a_{1}) nem em B_{1}\cap A_{2} (não tem X_{2}\le a_{2}).

Passo 4

Passar para probabilidades e aplicar inclusão-exclusão.
  • Tomando probabilidade dos dois lados e usando que, para conjuntos C e D,
\mathbb{P}(C\setminus D)=\mathbb{P}\text{(C)}-\mathbb{P}(C\cap D),
obtemos
\mathbb{P}\bigl((B_{1}\setminus A_{1})\cap(B_{2}\setminus A_{2})\bigr)=\mathbb{P}(B_{1}\cap B_{2})-\mathbb{P}\bigl((A_{1}\cap B_{2})\cup(B_{1}\cap A_{2})\bigr).
  • Agora aplicamos a fórmula da união (inclusão-exclusão) para escrever a probabilidade da união:
\mathbb{P}\bigl((A_{1}\cap B_{2})\cup(B_{1}\cap A_{2})\bigr)=\mathbb{P}(A_{1}\cap B_{2})+\mathbb{P}(B_{1}\cap A_{2})-\mathbb{P}\bigl((A_{1}\cap B_{2})\cap(B_{1}\cap A_{2})\bigr).

Passo 5

Identificar cada termo com valores da CDF e simplificar.
  • Usando a definição da CDF multivariada, traduzimos cada probabilidade:
\mathbb{P}(B_{1}\cap B_{2})=F_{\boldsymbol{X}}\bigl(b_{1},b_{2}\bigr),
\mathbb{P}(A_{1}\cap B_{2})=F_{\boldsymbol{X}}\bigl(a_{1},b_{2}\bigr),
\mathbb{P}(B_{1}\cap A_{2})=F_{\boldsymbol{X}}\bigl(b_{1},a_{2}\bigr).
  • O último termo da inclusão-exclusão é a interseção
(A_{1}\cap B_{2})\cap(B_{1}\cap A_{2})=A_{1}\cap A_{2},
porque A_{1}\subset B_{1} e A_{2}\subset B_{2}. Logo
\mathbb{P}\bigl((A_{1}\cap B_{2})\cap(B_{1}\cap A_{2})\bigr)=\mathbb{P}(A_{1}\cap A_{2})=F_{\boldsymbol{X}}\bigl(a_{1},a_{2}\bigr).
  • Juntando tudo na expressão do Passo 4:
\begin{aligned} \mathbb{P}\bigl(a_{1}<X_{1}\le b_{1},\;a_{2}<X_{2}\le b_{2}\bigr) &=F_{\boldsymbol{X}}\bigl(b_{1},b_{2}\bigr)-\bigl[F_{\boldsymbol{X}}\bigl(a_{1},b_{2}\bigr)+F_{\boldsymbol{X}}\bigl(b_{1},a_{2}\bigr)-F_{\boldsymbol{X}}\bigl(a_{1},a_{2}\bigr)\bigr]\\[4pt] &=F_{\boldsymbol{X}}\bigl(b_{1},b_{2}\bigr)-F_{\boldsymbol{X}}\bigl(b_{1},a_{2}\bigr)-F_{\boldsymbol{X}}\bigl(a_{1},b_{2}\bigr)+F_{\boldsymbol{X}}\bigl(a_{1},a_{2}\bigr). \end{aligned}
  • Pronto: chegamos exatamente na fórmula pedida. Dá para interpretar como uma aplicação de inclusão-exclusão às três ou quatro regiões que compõem o retângulo fechado pelos valores a_{i},b_{i}.]

Resposta

\mathbb{P}\bigl(a_{1}<X_{1}\le b_{1},\;a_{2}<X_{2}\le b_{2}\bigr)=F_{\boldsymbol{X}}\bigl(b_{1},b_{2}\bigr)-F_{\boldsymbol{X}}\bigl(b_{1},a_{2}\bigr)-F_{\boldsymbol{X}}\bigl(a_{1},b_{2}\bigr)+F_{\boldsymbol{X}}\bigl(a_{1},a_{2}\bigr).

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