Considere
um vetor aleatório com função distribuição acumulada
.
Sejam as propriedades:
P2.
e
.
Se
mostre que:
Sejam as propriedades:
P2.
Se
Passo 1
O que nos é dado e o que o problema pede (vou listar tudo direitinho).
- Foi definido o vetor aleatório
e sua função distribuição acumulada . - Lembrete útil (definição): pela definição de função distribuição acumulada multivariada,
- O enunciado pede para mostrar que, para valores
e ,
- Vou usar apenas a definição da CDF, álgebra de conjuntos (diferença e interseção) e propriedades básicas de probabilidade (aditividade finita e inclusão-exclusão). Nada de truque: passo a passo.
Passo 2
Organizar os eventos como conjuntos, para ver a relação entre eles (isso facilita a álgebra).
- Defina os conjuntos
- Note que, porque
e , vale
- O evento que queremos é
Explicando em palavras: para que
esteja entre
(estrito) e
(incluso) basta que esteja em
e não em
; mesma ideia para
.
Passo 3
Fazer a álgebra de conjuntos para expandir a interseção de diferenças.
- Usando propriedades elementares de conjuntos (distributividade e diferença),
- Intuição rápida: um ponto está em ambos os intervalos
e exatamente quando está em mas não está nem em (ou seja, não tem ) nem em (não tem ).
Passo 4
Passar para probabilidades e aplicar inclusão-exclusão.
- Tomando probabilidade dos dois lados e usando que, para conjuntos
e ,
obtemos
- Agora aplicamos a fórmula da união (inclusão-exclusão) para escrever a probabilidade da união:
Passo 5
Identificar cada termo com valores da CDF e simplificar.
- Usando a definição da CDF multivariada, traduzimos cada probabilidade:
- O último termo da inclusão-exclusão é a interseção
porque
e
. Logo
- Juntando tudo na expressão do Passo 4:
- Pronto: chegamos exatamente na fórmula pedida. Dá para interpretar como uma aplicação de inclusão-exclusão às três ou quatro regiões que compõem o retângulo fechado pelos valores
.]