Considere c uma contradição e t uma tautologia. Indique a proposição equivalente abaixo.
a) \sim \sim \mathrm{p}<=>
b) \mathrm{p} v \mathrm{p}<=>
c) \mathrm{p} \wedge \mathrm{p}<=>
d) cvp<=>
e) tvp<=>
f) \mathrm{c}^{\wedge} \mathrm{p}<=>
g) t^{\wedge} \mathrm{p}<=>
h) \mathrm{pv} \sim \mathrm{p}<=>
i) \mathrm{p} \wedge \sim \mathrm{p}<=>
j) \mathrm{pvq}<=>
k) \mathrm{p} \wedge \mathrm{q}<=>
l) \mathrm{p} \vee \mathrm{q} v r<=>(\mathrm{p} \vee \mathrm{q}) \vee r<=>
m) \mathrm{p}^{\wedge} \mathrm{q} \wedge \mathrm{r}<=>(\mathrm{p} \wedge \mathrm{q})^{\wedge} \mathrm{r}<=>
n) \mathrm{r} \wedge(\mathrm{p} \vee \mathrm{q})<=>
o) r v(p \wedge q)<=>
p) \mathrm{pv}(\mathrm{p} \wedge \mathrm{q})<=>
q) \mathrm{p} \wedge(\mathrm{p} \vee \mathrm{q})<=>
r) \mathrm{p}^{\wedge}(\sim \mathrm{p} \vee \mathrm{q})<=>
s) \mathrm{p} \vee(\sim \mathrm{p} \wedge \mathrm{q})<=>
t) \sim(\mathrm{p} \vee \mathrm{q})<=>
u) \sim(\mathrm{p} \wedge \mathrm{q})<=>
v) \mathrm{p}->\mathrm{q}<=>
w) p <-> q <=>
x) p v/ q <=>

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Foi dito que c é uma contradição (ou seja, uma proposição sempre falsa) e que t é uma tautologia (sempre verdadeira).
  • O enunciado apresenta várias fórmulas lógicas (de a até x) e pede que eu indique, para cada uma, uma proposição equivalente mais simples ou uma forma clássica equivalente.
  • Vou simplificar cada expressão usando leis usuais da lógica proposicional (dupla negação, idempotência, identidade, aniquilação, comutatividade, associatividade, distributividade, absorção, De Morgan, equivalência da implicação, bicondicional, xor etc.). Não vou mudar o sentido das expressões, apenas substituí-las por formas logicamente equivalentes.

Passo 2

Lista rápida das leis que vou usar (com explicação curta; tudo em fórmulas):
  • Dupla negação: \sim\sim p \Leftrightarrow p. Negar duas vezes traz de volta a proposição.
  • Idempotência: p\vee p \Leftrightarrow p e p\wedge p \Leftrightarrow p. Repetir o mesmo termo não altera.
  • Identidade e aniquilação:
    • t\vee p \Leftrightarrow t. Se algo já é verdadeiro, a disjunção é verdadeira.
    • c\vee p \Leftrightarrow p. Falso \vee algo é esse algo.
    • t\wedge p \Leftrightarrow p. Verdade \wedge algo é esse algo.
    • c\wedge p \Leftrightarrow c. Falso \wedge algo é falso.
  • Leis do complementar:
    • p\vee\sim p \Leftrightarrow t (princípio do terceiro excluído).
    • p\wedge\sim p \Leftrightarrow c.
  • Comutatividade: p\vee q \Leftrightarrow q\vee p, p\wedge q \Leftrightarrow q\wedge p.
  • Associatividade: (p\vee q)\vee r \Leftrightarrow p\vee(q\vee r) e (p\wedge q)\wedge r \Leftrightarrow p\wedge(q\wedge r).
  • Distributividade:
    • r\wedge(p\vee q) \Leftrightarrow (r\wedge p)\vee(r\wedge q).
    • r\vee(p\wedge q) \Leftrightarrow (r\vee p)\wedge(r\vee q).
  • Absorção:
    • p\vee(p\wedge q) \Leftrightarrow p.
    • p\wedge(p\vee q) \Leftrightarrow p.
  • De Morgan:
    • \sim(p\vee q) \Leftrightarrow (\sim p)\wedge(\sim q).
    • \sim(p\wedge q) \Leftrightarrow (\sim p)\vee(\sim q).
  • Implicação: p\to q \Leftrightarrow \sim p \vee q.
  • Bicondicional: p\leftrightarrow q \Leftrightarrow (p\to q)\wedge(q\to p), que também é (p\wedge q)\vee(\sim p\wedge\sim q).
  • XOR (exclusive or): p\oplus q \Leftrightarrow (p\vee q)\wedge\sim(p\wedge q) e equivalente a (p\wedge\sim q)\vee(\sim p\wedge q).
Agora aplico essas leis item a item, explicando a escolha.

Passo 3

a) \sim\sim p. Pela dupla negação:
\sim\sim p \Leftrightarrow p.

Passo 4

b) p\vee p. Pela idempotência da disjunção:
p\vee p \Leftrightarrow p.

Passo 5

c) p\wedge p. Pela idempotência da conjunção:
p\wedge p \Leftrightarrow p.

Passo 6

d) c\vee p. Como c é sempre falso, a disjunção com p retorna p:
c\vee p \Leftrightarrow p.

Passo 7

e) t\vee p. Como t é sempre verdadeiro, a disjunção com qualquer p é verdadeira:
t\vee p \Leftrightarrow t.

Passo 8

f) c\wedge p. Como c é sempre falso, a conjunção com qualquer p é falsa:
c\wedge p \Leftrightarrow c.

Passo 9

g) t\wedge p. Como t é verdadeira, a conjunção retorna p:
t\wedge p \Leftrightarrow p.

Passo 10

h) p\vee\sim p. Princípio do terceiro excluído (complemento):
p\vee\sim p \Leftrightarrow t.

Passo 11

i) p\wedge\sim p. Contradição (complemento):
p\wedge\sim p \Leftrightarrow c.

Passo 12

j) p\vee q. Aplicando comutatividade da disjunção:
p\vee q \Leftrightarrow q\vee p.

Passo 13

k) p\wedge q. Aplicando comutatividade da conjunção:
p\wedge q \Leftrightarrow q\wedge p.

Passo 14

l) p\vee q\vee r (escrito como (p\vee q)\vee r). Pela associatividade da disjunção:
(p\vee q)\vee r \Leftrightarrow p\vee(q\vee r).
Podemos também escrever simplesmente p\vee q\vee r.

Passo 15

m) p\wedge q\wedge r (escrito como (p\wedge q)\wedge r). Pela associatividade da conjunção:
(p\wedge q)\wedge r \Leftrightarrow p\wedge(q\wedge r).

Passo 16

n) r\wedge(p\vee q). Pela distributividade da conjunção sobre a disjunção:
r\wedge(p\vee q) \Leftrightarrow (r\wedge p)\vee(r\wedge q).

Passo 17

o) r\vee(p\wedge q). Pela distributividade da disjunção sobre a conjunção:
r\vee(p\wedge q) \Leftrightarrow (r\vee p)\wedge(r\vee q).

Passo 18

p) p\vee(p\wedge q). Pela lei da absorção (ou mostrando via distributividade):
p\vee(p\wedge q) \Leftrightarrow p.

Passo 19

q) p\wedge(p\vee q). Pela lei da absorção:
p\wedge(p\vee q) \Leftrightarrow p.

Passo 20

r) p\wedge(\sim p\vee q). Distribuindo p sobre a disjunção:
p\wedge(\sim p\vee q) \Leftrightarrow (p\wedge\sim p)\vee(p\wedge q).
Como p\wedge\sim p \Leftrightarrow c e c\vee X \Leftrightarrow X, resulta:
p\wedge(\sim p\vee q) \Leftrightarrow p\wedge q.

Passo 21

s) p\vee(\sim p\wedge q). Aplicando a distributividade dual:
p\vee(\sim p\wedge q) \Leftrightarrow (p\vee\sim p)\wedge(p\vee q).
Como p\vee\sim p \Leftrightarrow t e t\wedge X \Leftrightarrow X, fica:
p\vee(\sim p\wedge q) \Leftrightarrow p\vee q.

Passo 22

t) \sim(p\vee q). Pela lei de De Morgan:
\sim(p\vee q) \Leftrightarrow (\sim p)\wedge(\sim q).

Passo 23

u) \sim(p\wedge q). Pela lei de De Morgan:
\sim(p\wedge q) \Leftrightarrow (\sim p)\vee(\sim q).

Passo 24

v) p\to q. Equivalência padrão da implicação:
p\to q \Leftrightarrow \sim p \vee q.
Intuição: "se p então q" é verdadeiro sempre que p for falso ou q for verdadeiro.

Passo 25

w) p\leftrightarrow q. Bicondicional como conjunção de implicações ou como equivalência de verdade:
p\leftrightarrow q \Leftrightarrow (p\to q)\wedge(q\to p)
e, expandindo,
p\leftrightarrow q \Leftrightarrow (p\wedge q)\vee(\sim p\wedge\sim q).

Passo 26

x) p\\ \text{xor}\\ q (escrito como p v/ q no enunciado). Forma equivalente mais usada:
p\oplus q \Leftrightarrow (p\vee q)\wedge\sim(p\wedge q)
ou, de forma disjuntiva,
p\oplus q \Leftrightarrow (p\wedge\sim q)\vee(\sim p\wedge q).

Resposta

a) p
b) p
c) p
d) p
e) t
f) c
g) p
h) t
i) c
j) q\vee p
k) q\wedge p
l) p\vee(q\vee r)
m) p\wedge(q\wedge r)
n) (r\wedge p)\vee(r\wedge q)
o) (r\vee p)\wedge(r\vee q)
p) p
q) p
r) p\wedge q
s) p\vee q
t) (\sim p)\wedge(\sim q)
u) (\sim p)\vee(\sim q)
v) \sim p\vee q
w) (p\wedge q)\vee(\sim p\wedge\sim q)
x) (p\wedge\sim q)\vee(\sim p\wedge q)

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