Considere c uma contradição e t uma tautologia. Indique a proposição equivalente abaixo.
a)
b)
c)
d) cvp<=>
e) tvp<=>
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w) p <-> q <=>
x) p v/ q <=>
a)
b)
c)
d) cvp<=>
e) tvp<=>
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w) p <-> q <=>
x) p v/ q <=>
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Foi dito que
é uma contradição (ou seja, uma proposição sempre falsa) e que é uma tautologia (sempre verdadeira). - O enunciado apresenta várias fórmulas lógicas (de
até ) e pede que eu indique, para cada uma, uma proposição equivalente mais simples ou uma forma clássica equivalente. - Vou simplificar cada expressão usando leis usuais da lógica proposicional (dupla negação, idempotência, identidade, aniquilação, comutatividade, associatividade, distributividade, absorção, De Morgan, equivalência da implicação, bicondicional, xor etc.). Não vou mudar o sentido das expressões, apenas substituí-las por formas logicamente equivalentes.
Passo 2
Lista rápida das leis que vou usar (com explicação curta; tudo em fórmulas):
- Dupla negação:
. Negar duas vezes traz de volta a proposição. - Idempotência:
e . Repetir o mesmo termo não altera. - Identidade e aniquilação:
-
. Se algo já é verdadeiro, a disjunção é verdadeira. -
. Falso algo é esse algo. -
. Verdade algo é esse algo. -
. Falso algo é falso.
-
- Leis do complementar:
-
(princípio do terceiro excluído). -
.
-
- Comutatividade:
, . - Associatividade:
e . - Distributividade:
-
. -
.
-
- Absorção:
-
. -
.
-
- De Morgan:
-
. -
.
-
- Implicação:
. - Bicondicional:
, que também é . - XOR (exclusive or):
e equivalente a .
Agora aplico essas leis item a item, explicando a escolha.
Passo 3
a)
. Pela dupla negação:
Passo 4
b)
. Pela idempotência da disjunção:
Passo 5
c)
. Pela idempotência da conjunção:
Passo 6
d)
. Como
é sempre falso, a disjunção com
retorna
:
Passo 7
e)
. Como
é sempre verdadeiro, a disjunção com qualquer
é verdadeira:
Passo 8
f)
. Como
é sempre falso, a conjunção com qualquer
é falsa:
Passo 9
g)
. Como
é verdadeira, a conjunção retorna
:
Passo 10
h)
. Princípio do terceiro excluído (complemento):
Passo 11
i)
. Contradição (complemento):
Passo 12
j)
. Aplicando comutatividade da disjunção:
Passo 13
k)
. Aplicando comutatividade da conjunção:
Passo 14
l)
(escrito como
). Pela associatividade da disjunção:
Podemos também escrever simplesmente
.
Passo 15
m)
(escrito como
). Pela associatividade da conjunção:
Passo 16
n)
. Pela distributividade da conjunção sobre a disjunção:
Passo 17
o)
. Pela distributividade da disjunção sobre a conjunção:
Passo 18
p)
. Pela lei da absorção (ou mostrando via distributividade):
Passo 19
q)
. Pela lei da absorção:
Passo 20
r)
. Distribuindo
sobre a disjunção:
Como
e
, resulta:
Passo 21
s)
. Aplicando a distributividade dual:
Como
e
, fica:
Passo 22
t)
. Pela lei de De Morgan:
Passo 23
u)
. Pela lei de De Morgan:
Passo 24
v)
. Equivalência padrão da implicação:
Intuição: "se
então
" é verdadeiro sempre que
for falso ou
for verdadeiro.
Passo 25
w)
. Bicondicional como conjunção de implicações ou como equivalência de verdade:
e, expandindo,
Passo 26
x)
(escrito como
no enunciado). Forma equivalente mais usada:
ou, de forma disjuntiva,
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
x)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
x)