Utilizando álgebra das proposições, encontre a expressão equivalente que é composta apenas por conectivos e (^) ou negação (~)
\mathrm{p}^{\wedge}(\mathrm{p} \vee \mathrm{q})->\mathrm{r} v(\mathrm{q} \wedge \mathrm{r})

Passo 1

O enunciado dá a fórmula
p \wedge (p \vee q) \to r \vee (q \wedge r)
e pede uma expressão logicamente equivalente que use apenas os conectivos \wedge (e) e \neg (negação).
Ou seja: transformar a fórmula passo a passo até obter algo que contenha só \wedge e \neg.

Passo 2

Simplificar o membro esquerdo p \wedge (p \vee q). Há uma lei muito útil chamada lei da absorção que diz
p \wedge (p \vee q) \equiv p.
Demonstração rápida por álgebra booleana: usando distributividade,
p \wedge (p \vee q) \equiv (p\wedge p)\vee (p\wedge q).
Como p\wedge p\equiv p, isso dá
(p\wedge p)\vee (p\wedge q) \equiv p \vee (p\wedge q),
e pela absorção (ou observando que p\vee (p\wedge q)=p) concluímos
p \wedge (p \vee q) \equiv p.
Intuição simples: se p é verdadeiro, a conjunção é verdadeira; se p é falso, a conjunção é falsa — logo é equivalente a p.

Passo 3

Simplificar o membro direito r \vee (q \wedge r). Pela lei da absorção (versão dual),
r \vee (q \wedge r) \equiv r.
Uma demonstração: por distributividade r \vee (q\wedge r)\equiv (r\vee q)\wedge (r\vee r)\equiv (r\vee q)\wedge r\equiv r. Intuitivamente, se r já é verdadeiro, a disjunção vale r; se r é falso, então q\wedge r também é falso — logo a disjunção é equivalente a r.

Passo 4

Com as simplificações dos dois lados, a fórmula original vira
p \to r.
Agora usamos a equivalência padrão da implicação:
A \to B \equiv \neg A \vee B.
Aplicando a p \to r obtemos
p \to r \equiv \neg p \vee r.

Passo 5

Ainda resta a disjunção \vee. Para eliminar \vee usamos a forma de De Morgan:
A \vee B \equiv \neg(\neg A \wedge \neg B).
Tomando A=\neg p e B=r temos
\neg p \vee r \equiv \neg(\neg(\neg p) \wedge \neg r).
Como \neg(\neg p)\equiv p, isso se simplifica para
\neg(\,p \wedge \neg r\,).
Essa expressão usa apenas \wedge e \neg, como exigido.

Resposta

\neg(p \wedge \neg r)

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