Considere um cabo coaxial, isto é, um cilindro de raio a envolto de um cilindro oco de raio interno b e raio externo c. Perceba que
. Assuma que o cabo possui comprimento infinito.
Calcule a densidade de energia eletrostática em cada um dos casos. Compare os dois resultados.
Calcule a densidade de energia eletrostática em cada um dos casos. Compare os dois resultados.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um cabo coaxial, que é basicamente um cilindro de raio a envolto por outro cilindro oco com raio interno b e raio externo c, onde a < b < c. Além disso, o cabo tem comprimento infinito. Nosso objetivo aqui é calcular a densidade de energia eletrostática em cada um dos casos e depois comparar os resultados.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos elétricos em configurações cilíndricas e como calcular a energia armazenada nesses campos. Vamos usar a teoria de Gauss para encontrar o campo elétrico em diferentes regiões e depois aplicar a fórmula da densidade de energia eletrostática.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as diferentes regiões do nosso cabo coaxial onde o campo elétrico pode existir:
- Dentro do cilindro interno (r < a): Aqui, estamos dentro do condutor sólido.
- Entre o cilindro interno e o oco (a < r < b): Nesta área, há espaço vazio entre os dois cilindros.
- Dentro do cilindro oco (b < r < c): Aqui, estamos dentro do condutor oco.
- Fora do cilindro oco (r > c): Fora de todo o sistema de cabos.
Vamos analisar cada uma dessas regiões para encontrar o campo elétrico E.
Passo 3
Região 1: Dentro do cilindro interno (r < a)
Dentro de um condutor metálico em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero. Isso porque as cargas livres se distribuem na superfície do condutor, cancelando qualquer campo interno.
Então, para r < a:
Região 2: Entre o cilindro interno e o oco (a < r < b)
Aqui, temos um campo elétrico devido à carga do cilindro interno. Usamos a Lei de Gauss para um cilindro coaxial:
Onde:
- $ \lambda $ é a densidade linear de carga (carga por unidade de comprimento).
- $ L $ é o comprimento do cilindro (que será cancelado).
Resolvendo para E:
Região 3: Dentro do cilindro oco (b < r < c)
Dentro do condutor oco, novamente, o campo elétrico é zero, pois as cargas se redistribuem na superfície.
Então, para b < r < c:
Região 4: Fora do cilindro oco (r > c)
Para r > c, consideramos que o cabo coaxial é eletricamente neutro (não há carga líquida externa). Portanto, o campo elétrico também é zero.
Então, para r > c:
Passo 4
Agora que temos o campo elétrico em cada região, vamos calcular a densidade de energia eletrostática u usando a fórmula:
Vamos aplicar isso às regiões onde o campo elétrico é diferente de zero, que são a < r < b.
Simplificando:
Então, a densidade de energia eletrostática é inversamente proporcional ao quadrado da distância radial r na região entre a e b.
Passo 5
Para comparar os resultados, vamos notar que em todas as outras regiões (r < a, b < r < c, e r > c) a densidade de energia eletrostática u é zero, já que o campo elétrico é nulo nessas áreas.
Portanto, a única região onde a densidade de energia eletrostática não é zero é entre os dois cilindros, de a a b, onde:
Resposta
A densidade de energia eletrostática é nula em todas as regiões exceto entre os cilindros com raios a e b, onde é dada por:
Isso mostra que a energia está concentrada na região entre os dois cilindros do cabo coaxial.