Considere uma esfera condutora de raio R. Uma esfera concêntrica de raio r é removida dessa esfera (o resultado é um buraco não condutor na região da esfera).
Suponha agora que uma carga positiva q foi colocada no centro desta esfera. Calcule a densidade de cargas induzidas nas superfícies interna e externa do condutor (respectivamente, sigmar e sigmaR ).

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera condutora com um buraco no meio, onde colocamos uma carga positiva no centro. A matéria que vamos usar aqui é Eletrostática, mais especificamente sobre condutores e como as cargas se distribuem neles. Para resolver, vamos precisar entender como as cargas se organizam nas superfícies interna e externa de um condutor quando há uma carga dentro de uma cavidade.

Passo 2

Primeiro, imagine que temos uma esfera condutora de raio $ R $ com um buraco no centro de raio $ r $ (onde $ r < R $). Colocamos uma carga positiva $ q $ exatamente no centro desse buraco. Agora, porque o material é condutor, as cargas se rearranjam para manter o equilíbrio eletrostático.
Segundo a Lei de Gauss, o campo elétrico dentro do material condutor deve ser zero quando está em equilíbrio. Para conseguir isso, a carga positiva $ q $ no centro vai induzir uma carga negativa na superfície interna do buraco. Essa carga negativa vai exatamente cancelar o campo elétrico da carga $ q $ dentro do material condutor.
Então, a carga induzida na superfície interna ($ \sigma_{r} $) vai ser negativa e tem o mesmo valor absoluto que a carga $ q $. Ou seja:
R

Passo 3

Agora, precisamos considerar a superfície externa da esfera condutora. A esfera é condutora e, assumindo que ela inicialmente estava neutra, a carga total na esfera deve ser zero. Já que induzimos uma carga negativa $ -q $ na superfície interna, devemos ter uma carga positiva $ +q $ na superfície externa para balancear.
Portanto, a carga induzida na superfície externa ($ \sigma_{R} $) será positiva e igual em valor absoluto à carga $ q $:
-q

Passo 4

Finalmente, para encontrar as densidades de carga nas superfícies interna e externa, usamos a fórmula da densidade de carga superficial:
sigma = Q4pi R^2
Para a superfície interna de raio $ r $:
r
E para a superfície externa de raio $ R $:
sigmar = Qinterna4pi r^2 = -q4pi r^2

Resposta

As densidades de carga induzidas são:
sigmar = -q4pi r^2
e
sigmaR = q4pi R^2

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