Considere uma esfera condutora de raio
. Uma esfera concêntrica de raio
é removida dessa esfera (o resultado é um buraco não condutor na região da esfera).
Calcule o campo elétrico em todo o espaço.
Calcule o campo elétrico em todo o espaço.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera condutora de raio $ R $ com um buraco no meio, que é uma esfera concêntrica de raio $ r < R $. Nosso objetivo aqui é calcular o campo elétrico em todo o espaço. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, como Lei de Gauss e propriedades de condutores em equilíbrio eletrostático.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a carga se distribui em uma esfera condutora. Em equilíbrio eletrostático, as cargas em um condutor se distribuem apenas na superfície. Então, se a esfera tiver uma carga total $ Q $, toda essa carga estará na superfície externa, com raio $ R $.
Passo 3
Agora, consideremos o buraco não condutor de raio $ r $. Como é uma região não condutora, não há cargas nessa área. Isso significa que a distribuição de carga na superfície externa não é afetada pela presença do buraco interno.
Passo 4
Vamos aplicar a Lei de Gauss para calcular o campo elétrico. A Lei de Gauss nos diz que a integral do campo elétrico $ \vec{E} $ sobre uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante $ \varepsilon_0 $:
Passo 5
Vamos analisar duas regiões: fora da esfera ($ r’ > R
r < r’ < R $).
Para $ r’ > R $:
Todas as cargas estão na superfície externa. Aplicando a Lei de Gauss, o campo elétrico fica como o de uma carga pontual:
Todas as cargas estão na superfície externa. Aplicando a Lei de Gauss, o campo elétrico fica como o de uma carga pontual:
Direção radial para fora.
Para $ r < r’ < R $:
Dentro do condutor, o campo elétrico é zero. Isso ocorre porque as cargas se rearranjam de modo a cancelar qualquer campo interno.
Dentro do condutor, o campo elétrico é zero. Isso ocorre porque as cargas se rearranjam de modo a cancelar qualquer campo interno.
Passo 6
E para a região dentro do buraco ($ r’ < r $), como não há carga dentro do buraco e o campo dentro de um condutor é zero, não há fontes criando campo elétrico nessa área. Portanto, o campo elétrico também é zero aqui.
Resposta
O campo elétrico em todo o espaço é dado por:
Ou seja, fora da esfera condutora, o campo é como de uma carga pontual, e dentro da esfera (incluindo o buraco), o campo elétrico é zero.