Considere, em cada um dos seguintes itens, o operador T. Determine a matriz canônica associada a esse operador, o polinômio característico de T, os autovalores e os subespaços associados aos autovalores.
T: R^{3} \rightarrow R^{3}, definido por T(x, y, z)=(3 x-3 y-4 z, 3 y+5 z,-z).
\begin{gathered} A=\left(\begin{array}{ccc} 3 & -3 & -4 \\ 0 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right), p(\lambda)=(3-\lambda)^{2} \cdot(-1-\lambda), \lambda=-1, \lambda=3, \\ V_{-1}=\left\{\left(\frac{1}{16} z,-\frac{5}{4} z, z\right) ; z \in R\right\}=\left[\left(\frac{1}{16},-\frac{5}{4}, 1\right)\right] \text { ou }[(1,-20,16)], \\ V_{3}=\{(x, 0,0) ; x \in R\}=[ (1,0,0)] . \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede para representar o operador linear
T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 dado por
T(x,y,z) = (3x - 3y - 4z,\;3y + 5z,\;-z)
na base canônica, depois encontrar seu polinômio característico, os autovalores e, finalmente, os subespaços próprios (eigenspaces) correspondentes. Vamos usar a construção da matriz a partir das imagens dos vetores da base canônica e em seguida resolver \det(A-\lambda I)=0 e (A-\lambda I)v=0.

Passo 2

Para achar a matriz canônica A de T, aplicamos T aos vetores da base canônica e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1) e tomamos essas imagens como colunas de A:
T(e_1) = T(1,0,0) = (3,0,0), \quad T(e_2) = T(0,1,0) = (-3,3,0), \quad T(e_3) = T(0,0,1) = (-4,5,-1).
Logo,
A = \begin{pmatrix} 3 & -3 & -4\\\\ 0 & 3 & 5\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Como A é triangular superior, seu determinante \det(A-\lambda I) é o produto das entradas da diagonal de A-\lambda I. Logo,
p(\lambda) = \det(A-\lambda I) = (3-\lambda)\,(3-\lambda)\,(-1-\lambda) = (3-\lambda)^2\,(-1-\lambda).

Passo 4

Os autovalores são as raízes de p(\lambda)=0. Temos
3-\lambda = 0 \quad\Rightarrow\quad \lambda=3 \quad(\text{multiplicidade }2),
-1-\lambda = 0 \quad\Rightarrow\quad \lambda=-1 \quad(\text{multiplicidade }1).

Passo 5

Para \lambda=3, resolvemos (A-3I)v=0. Escrevendo
A-3I = \begin{pmatrix} 0 & -3 & -4\\\\ 0 & 0 & 5\\\\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}
e chamando v=(x,y,z), as equações são
-3y - 4z = 0,\quad 5z = 0,\quad -4z = 0.
Da segunda (ou terceira) vem z=0, e então da primeira y=0, sobrando x livre. Assim
V_{3} = \{(x,0,0)\colon x\in\mathbb{R}\} = \bigl[\,(1,0,0)\bigr].

Passo 6

Para \lambda=-1, resolvemos (A+I)v=0. Aqui
A+I = \begin{pmatrix} 4 & -3 & -4\\\\ 0 & 4 & 5\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
e as equações são
4x - 3y -4z = 0,\quad 4y +5z = 0.
Da segunda obtemos y = -\tfrac54 z. Substituindo na primeira:
4x -3\bigl(-\tfrac54 z\bigr) -4z = 0 \;\Longrightarrow\; 4x + \tfrac{15}{4}z -4z = 0 \;\Longrightarrow\; 4x = \tfrac14 z \;\Longrightarrow\; x = \tfrac1{16}z.
Tomando z como parâmetro t,
v = \bigl(\tfrac1{16}t,\,-\tfrac54 t,\;t\bigr) = t\,(1/16,\,-5/4,\,1) = t\,(1,-20,16).
Logo
V_{-1} = \bigl\{t\,(1,-20,16)\colon t\in\mathbb{R}\bigr\}.

Resposta

A matriz canônica de T é
A = \begin{pmatrix} 3 & -3 & -4\\\\ 0 & 3 & 5\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
O polinômio característico é
p(\lambda) = (3-\lambda)^2(-1-\lambda).
Os autovalores são
\lambda=3 \;(\text{multiplicidade }2), \quad \lambda=-1 \;(\text{multiplicidade }1).
Os subespaços próprios são
V_{3} = \{(x,0,0)\colon x\in\mathbb{R}\} = \bigl[(1,0,0)\bigr], \quad V_{-1} = \{t\,(1,-20,16)\colon t\in\mathbb{R}\} = \bigl[(1,-20,16)\bigr].

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