Exercício 7. Dados os vetores vec{u}=(-3,4) e vec{v}=(1,2), determinar:
3 \vec{u}+2 \vec{v}

Passo 1

O enunciado dá os dois vetores e pede uma combinação linear deles. Dados:
  • \vec{u}=(-3,4)
  • \vec{v}=(1,2)
O que é pedido:
  • Calcular 3\vec{u}+2\vec{v}.

Passo 2

Relembrando a definição e a regra que vamos usar (explicando passo a passo):
  • Multiplicação de um vetor por um escalar: se \vec{w}=(w_1,w_2) e c é um número, então
c\vec{w}=(c w_1,\; c w_2).
Aqui w_1 e w_2 são as componentes do vetor \vec{w}; multiplicar por c significa multiplicar cada componente por c.
  • Soma de vetores: se \vec{a}=(a_1,a_2) e \vec{b}=(b_1,b_2), então
\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,\; a_2+b_2).
Ou seja, soma-se cada componente correspondente.
Essas duas regras são suficientes para calcular 3\vec{u}+2\vec{v}.

Passo 3

Calcular 3\vec{u} aplicando a regra de multiplicação por escalar:
3\vec{u}=3(-3,4)=(3\cdot(-3),\;3\cdot4).
Fazendo as multiplicações:
3\cdot(-3)=-9,\qquad 3\cdot4=12.
Portanto
3\vec{u}=(-9,12).

Passo 4

Calcular 2\vec{v} de forma análoga:
2\vec{v}=2(1,2)=(2\cdot1,\;2\cdot2).
Fazendo as multiplicações:
2\cdot1=2,\qquad 2\cdot2=4.
Portanto
2\vec{v}=(2,4).

Passo 5

Somar os vetores obtidos componente a componente usando a regra da soma:
3\vec{u}+2\vec{v}=(-9,12)+(2,4)=((-9)+2,\;12+4).
Fazendo as somas:
(-9)+2=-7,\qquad 12+4=16.
Assim o vetor resultante é (-7,16).

Passo 6

Verificação alternativa (mesma conta feita diretamente pelas componentes, usando distributividade):
3\vec{u}+2\vec{v}=(3(-3)+2(1),\;3(4)+2(2)) = ((-9)+2,\;12+4)=(-7,16).
Confere com o passo anterior.

Resposta

(-7,16)

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