Considere
Calcule a transformada de Laplace de
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Calcule a transformada de Laplace de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ que é igual a $ e^{t} $ para $ 0 \leq t < 2 $ e igual a 0 para $ t \geq 2 $. Vamos usar conceitos de transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática que ajuda a transformar funções do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais, por exemplo. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a definição da transformada de Laplace passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela é definida pela integral:
Aqui, $ s $ é uma variável complexa, e $ \mathcal{L}{f(t)} $ representa a transformada de Laplace da função $ f(t) $.
Passo 3
No nosso caso, a função $ f(t) $ é diferente em dois intervalos: de 0 a 2 e de 2 em diante. Mas como $ f(t) = 0 $ para $ t \geq 2 $, a integral da transformada de Laplace só precisa ser calculada de 0 a 2. Então, a transformada fica:
Aqui, substituímos $ f(t) $ por $ e^{t} $ no intervalo onde ela não é zero.
Passo 4
Agora, vamos simplificar a integral. Multiplicando os expoentes:
Então, a integral fica:
Vamos integrar $ e^{t(1 - s)} $ em relação a $ t $:
Avaliado de 0 a 2:
Resposta
A transformada de Laplace de $ f(t) $ é: