Encontre a solução geral de
y^(4)-y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral da equação diferencial $ y^{(4)} - y = 0 $. Isso está dentro da matéria de Equações Diferenciais de Ordem Superior, especificamente focando em equações lineares com coeficientes constantes. Para resolver isso, a gente vai precisar usar a equação característica e entender um pouco sobre raízes de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais fácil de trabalhar:
y^(4) - y = 0
Isso significa que a quarta derivada de $ y $ menos $ y $ é igual a zero.

Passo 3

Agora, para resolver essa equação, a gente usa a equação característica. A ideia é substituir $ y^{(n)} $ por $ r^n $, onde $ r $ é um número que precisamos encontrar. Então, nossa equação característica fica:
y^(n)

Passo 4

Resolvendo a equação característica $ r^{4} - 1 = 0 $, a gente procura os valores de $ r $ que satisfazem essa igualdade. Podemos fatorar isso da seguinte maneira:
r^4 - 1 = 0
Então, temos duas equações menores:
r

Passo 5

Resolvendo $ r^{2} - 1 = 0 $:
r^2 - 1 = 0
E resolvendo $ r^{2} + 1 = 0 $:
r^2 = 1 Rightarrow r = pm 1
Então, os valores de $ r $ são $ r = 1 $, $ r = -1 $, $ r = i $, e $ r = -i $.

Passo 6

Com esses valores de $ r $, a solução geral da equação diferencial é construída combinando funções exponenciais e funções trigonométricas. Especificamente:
  • Para $ r = 1 $ e $ r = -1 $, usamos $ e^{x} $ e $ e^{-x} $.
  • Para $ r = i $ e $ r = -i $, que são raízes complexas, usamos $ \cos(x) $ e $ \sin(x) $.

Resposta

A solução geral da equação $ y^{(4)} - y = 0 $ é:
y^(4) - y = 0
onde $ C_{1} $, $ C_{2} $, $ C_{3} $ e $ C_{4} $ são constantes arbitrárias.

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