Encontre a solução geral de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral da equação diferencial $ y^{(4)} - y = 0 $. Isso está dentro da matéria de Equações Diferenciais de Ordem Superior, especificamente focando em equações lineares com coeficientes constantes. Para resolver isso, a gente vai precisar usar a equação característica e entender um pouco sobre raízes de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma mais fácil de trabalhar:
Isso significa que a quarta derivada de $ y $ menos $ y $ é igual a zero.
Passo 3
Agora, para resolver essa equação, a gente usa a equação característica. A ideia é substituir $ y^{(n)} $ por $ r^n $, onde $ r $ é um número que precisamos encontrar. Então, nossa equação característica fica:
Passo 4
Resolvendo a equação característica $ r^{4} - 1 = 0 $, a gente procura os valores de $ r $ que satisfazem essa igualdade. Podemos fatorar isso da seguinte maneira:
Então, temos duas equações menores:
Passo 5
Resolvendo $ r^{2} - 1 = 0 $:
E resolvendo $ r^{2} + 1 = 0 $:
Então, os valores de $ r $ são $ r = 1 $, $ r = -1 $, $ r = i $, e $ r = -i $.
Passo 6
Com esses valores de $ r $, a solução geral da equação diferencial é construída combinando funções exponenciais e funções trigonométricas. Especificamente:
- Para $ r = 1 $ e $ r = -1 $, usamos $ e^{x} $ e $ e^{-x} $.
- Para $ r = i $ e $ r = -i $, que são raízes complexas, usamos $ \cos(x) $ e $ \sin(x) $.
Resposta
A solução geral da equação $ y^{(4)} - y = 0 $ é:
onde $ C_{1} $, $ C_{2} $, $ C_{3} $ e $ C_{4} $ são constantes arbitrárias.