Considere
Expresse f(t)=cce^t, & se 0 <= t<2 0, & se t >= 2 em termos da função degrau unitário.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função $ f(t) $ que vale $ e^{t} $ quando $ t $ está entre 0 e 2, e é zero quando $ t $ é igual ou maior que 2. O conteúdo que vamos usar aqui é a função degrau unitário, que ajuda a “ligar” ou “desligar” partes da função. Precisaremos usar essa função para expressar $ f(t) $ de forma que ela atue apenas no intervalo de 0 a 2.

Passo 2

A função degrau unitário, representada por $ u(t) $, é igual a 0 quando $ t $ é menor que 0 e igual a 1 quando $ t $ é maior ou igual a 0. Para que $ f(t) $ comece a valer $ e^{t} $ a partir de $ t = 0 $, usamos $ u(t) $. Assim, $ e^{t} \cdot u(t) $ garante que a função $ e^{t} $ só esteja ativa a partir de 0.

Passo 3

Agora, para que $ f(t) $ volte a zero quando $ t $ chegar a 2, usamos outra função degrau deslocada, $ u(t-2) $. Multiplicando $ e^{t} $ por $ u(t-2) $, temos que a função $ e^{t} $ será desligada quando $ t $ for igual ou maior que 2.

Passo 4

Finalmente, para que $ f(t) $ seja $ e^{t} $ apenas entre 0 e 2, subtraímos as duas expressões que criamos:
f(t)

Resposta

f(t) = e^t cdot [,u(t) - u(t-2),]

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