Considere o calor especifico do diamante.
a. Calcule a frequência de vibração e o espaçamento entre níveis energéticos adjacentes para os átomos de carbono no diamante se a temperatura de Einstein for 1300 K .
b. Calcule a energia média < E > do oscilador a temperatura de 300 K e a temperatura de 1500 K e compare essa energia com o espaçamento entre os níveis energéticos adjacentes nos átomos de carbono. Existe, em media, energia térmica suficiente para excitar átomos de carbono à 300 K ? E à 1500 K ?

Passo 1

O enunciado usa o modelo de Einstein para o calor específico do diamante, em que cada átomo de carbono é tratado como um oscilador quântico de frequência omega. Foi dada a temperatura de Einstein thetaE = 1300 K. Vamos precisar de duas relações fundamentais:
  1. A definição de temperatura de Einstein
thetaE = hbar omegakB
  1. A energia média de um oscilador de Einstein (acima da energia de ponto zero)
lang<= Erang<= = hbar omegae^hbaromega/(kB T) - 1
Com isso podemos (a) determinar omega, a frequência nu e o espaçamento De<a E=hbaromega, e (b) calcular lang<= Erang<= para T=300 K e T=1500 K e comparar com De<a E.

Passo 2

Calcular hbaromega, omega e a frequência nu.
Usamos
hbar omega = kB,thetaE
com kB = 1,3806times10^-23 J/K e hbar=1,0546times10^-34 J,s.
hbaromega = (1,3806times10^-23)(1300) = 1,7948times10^-20 J
Em seguida
omega = hbaromegahbar = 1,7948times10^-201,0546times10^-34 =1,702times10^14 s^-1,
nu = omega2pi = 1,702times10^142pi =2,71times10^13 Hz

Passo 3

Calcular o espaçamento entre níveis adjacentes
De<a E = hbar omega = 1,7948times10^-20 J
Em elétron-volts:
De<a E = 1,7948times10^-201,602times10^-19 =0,112 eV

Passo 4

Calcular a energia média lang<= Erang<= a T=300 K e T=1500 K:
lang<= Erang<= = hbaromegae^hbaromega/(kB T) - 1 = kB,thetaEe^thetaE/T-1
Para T=300 K:
x = thetaET = 1300300 = 4,333, e^x = 76,1,
lang<= Erang<=300 = 1,7948times10^-2076,1-1 =2,39times10^-22 J =0,0015 eV
Para T=1500 K:
x = 13001500 = 0,867, e^x = 2,379,
lang<= Erang<=1500 = 1,7948times10^-202,379-1 =1,30times10^-20 J =0,081 eV

Passo 5

Comparação com De<a E=0,112 eV:
  • A 300 K, lang<= Erang<==0,0015 eVll0,112 eV. Logo não há energia térmica média suficiente para excitar o oscilador.
  • A 1500 K, lang<= Erang<==0,081 eV<0,112 eV, ainda um pouco abaixo de De<a E, embora bem mais próximo. Assim, mesmo a 1500 K a excitação é limitada, mas já ocorre em maior número do que a 300 K.

Resposta

a. omega=1,702times10^14 s^-1, nu=2,71times10^13 Hz, De<a E=hbaromega=1,7948times10^-20 J;(0,112 eV)
b. lang<= Erang<=300K=2,39times10^-22 J;(0,0015 eV), lang<= Erang<=1500K=1,30times10^-20 J;(0,081 eV)
Não há energia térmica média suficiente para excitar átomos de carbono no diamante a 300 K; a 1500 K há menos limitação, mas ainda lang<= Erang<=<De<a E.

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