Questão(10 Pontos)Um cabo coaxial é formado por um condutor interno de raio
e um condutor externo de raio
. O espaço entre os condutores é prenchido por dois dielétricos concêntrico formando uma fronteira de raio c. As permissividades são
para
e
para
.
a) Ache a distribuição de potencial no interior do cabo,
, quando o condutor interno está no potencial
e o externo aterrado.
a) Ache a distribuição de potencial no interior do cabo,
Passo 1
O enunciado descreve um cabo coaxial com condutor interno de raio
mantido a potencial
e condutor externo de raio
aterrado. Entre
o dielétrico tem permissividade
e entre
tem permissividade
. Queremos achar a distribuição de potencial
em
. O problema é de simetria cilíndrica, logo a equação de Laplace em coordenadas cilíndricas reduz-se a
cuja solução geral é
em cada região.
Passo 2
Chamando
para
e
para
, impomos:
- Condição de contorno em
: . - Condição de contorno em
: . - Continuidade de potencial em
: . - Continuidade de deslocamento normal
em :
Passo 3
Em vez de resolver diretamente
, é mais simples usar o fato de que o campo elétrico radial satisfaz
onde
é constante (mesmo em ambas as regiões, pois não há carga volumétrica). O potencial é dado por
Dessa forma obtemos
Passo 4
Para
, o potencial mede a queda de
até
:
Substituindo
achado, fica
Passo 5
Para
, o potencial mede a queda de
até
e depois até
:
o que dá, ao substituir
,
Resposta
Para
:
Para
: