2^a Questão(10 Pontos)Um cabo coaxial é formado por um condutor interno de raio a e um condutor externo de raio b. O espaço entre os condutores é prenchido por dois dielétricos concêntrico formando uma fronteira de raio c. As permissividades são epsilon1 para a<r<c e epsilon2 para c<r<b.
a) Ache a distribuição de potencial no interior do cabo, a<r<b, quando o condutor interno está no potencial V e o externo aterrado.

Passo 1

O enunciado descreve um cabo coaxial com condutor interno de raio a mantido a potencial V e condutor externo de raio b aterrado. Entre a<r<c o dielétrico tem permissividade epsilon1 e entre c<r<b tem permissividade epsilon2. Queremos achar a distribuição de potencial phi(r) em a<r<b. O problema é de simetria cilíndrica, logo a equação de Laplace em coordenadas cilíndricas reduz-se a
1rddr!l(rdphidrr)=0,
cuja solução geral é phi(r)=A + Bln r em cada região.

Passo 2

Chamando phi1(r)=A1 + B1ln r para a<r<c e phi2(r)=A2 + B2ln r para c<r<b, impomos:
  1. Condição de contorno em r=a: phi1(a)=V.
  2. Condição de contorno em r=b: phi2(b)=0.
  3. Continuidade de potencial em r=c: phi1(c)=phi2(c).
  4. Continuidade de deslocamento normal Dr=epsilon,Er=-epsilon,dphi/dr em r=c:
epsilon1,B1=epsilon2,B2

Passo 3

Em vez de resolver diretamente Ai,Bi, é mais simples usar o fato de que o campo elétrico radial satisfaz
Dr(r)=Kr, Er(r)=Kepsiloni,r,
onde K é constante (mesmo em ambas as regiões, pois não há carga volumétrica). O potencial é dado por
V =integrala^b(-Er),dr =integrala^cKepsilon1,r,dr +integralc^bKepsilon2,r,dr =Kepsilon1lnca +Kepsilon2lnbc
Dessa forma obtemos
K=V 1epsilon1lnca + 1epsilon2lnbc

Passo 4

Para a<r<c, o potencial mede a queda de a até r:
phi1(r) =V-integrala^rEr,dr =V-Kepsilon1lnra
Substituindo K achado, fica
phi1(r) =V, 1epsilon1lncr +1epsilon2lnbc 1epsilon1lnca +1epsilon2lnbc

Passo 5

Para c<r<b, o potencial mede a queda de a até c e depois até r:
phi2(r) =V -Kepsilon1lnca -Kepsilon2lnrc,
o que dá, ao substituir K,
phi2(r) =V, 1epsilon2lnbr 1epsilon1lnca +1epsilon2lnbc

Resposta

Para a<r<c:
phi(r) =V, 1epsilon1ln!l(tfraccrr) +1epsilon2ln!l(tfracbcr) 1epsilon1ln!l(tfraccar) +1epsilon2ln!l(tfracbcr)
Para c<r<b:
phi(r) =V, 1epsilon2ln!l(tfracbrr) 1epsilon1ln!l(tfraccar) +1epsilon2ln!l(tfracbcr)

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