Considere o campo de escoamento dado por
- Aysen
, onde
e
. A massa específica do fluido é
. Encontre expressões para aceleração local, aceleração convectiva e aceleração total. Avalie expressões para os gradientes de pressão
e
considerando a equação de Euler transiente nas respectivas direções,
Passo 1
O enunciado dá um campo de velocidades oscilante e pede as acelerações local, convectiva e total, e as expressões dos gradientes de pressão usando a equação de Euler não-viscosa (transiente). Os dados e interpretações que vou usar (peguei estes símbolos do enunciado):
- Velocidade escrita como (interpretação mais natural do texto):
e .
Ou seja, o campo de velocidade é - Constantes:
, . - Densidade:
(interpretei “2 k g / m^{3}” como ). - A equação de Euler transiente para as componentes (corrigindo um provável erro de digitação do enunciado, que repetiu o mesmo lado direito):
onde
e
são as componentes do campo gravitacional (não fornecidas numericamente no enunciado).
- O que é pedido:
- expressões para aceleração local
, convectiva e total ; - avaliar (escrever) as expressões de
e usando a equação de Euler (em termos de e de ), substituindo os valores numéricos de .
- expressões para aceleração local
Passo 2
Conceitos e fórmulas importantes (uma mini-aula):
- A aceleração total acompanhando uma partícula de fluido é a derivada material da velocidade:
Aqui: -
é a aceleração local (variação temporal no ponto fixo), -
é a aceleração convectiva (variação devido ao movimento espacial, transportada pela velocidade).
-
- Em componentes cartesianas, para
:
- Para obter os gradientes de pressão, isolamos
e nas equações de Euler acima:
Passo 3
Calcular todas as derivadas parciais necessárias a partir de
Definindo para abreviar
e
. Então
.
Derivadas temporais:
Derivadas espaciais:
Passo 4
Aceleração local (a parte
):
Em componentes:
Expliquei: isto é só derivar
e
em relação a
mantendo
fixos.
Passo 5
Aceleração convectiva (a parte
):
Calcular componente a componente:
-
Para
-componente: -
Para
-componente:
Observação didática: note que ambas componentes convectivas são proporcionais a
e
respectivamente e a
(sempre positivas), porque a variação espacial da velocidade é linear em
.
Passo 6
Aceleração total somando local + convectiva:
Componentes:
Podemos fatorar
e
:
Isto é
.
Passo 7
Agora substituo os valores numéricos
,
,
. Lembrando
e
. Cálculos dos coeficientes:
-
. -
. -
.
Portanto:
Aceleração local:
Aceleração convectiva:
Aceleração total:
Passo 8
Usando a equação de Euler em cada direção para obter os gradientes de pressão:
Substituindo
e as expressões de
obtidas:
Simplificando os fatores numéricos (multiplicando por
):
Observação: se quiser um caso comum com gravidade vertical
e
(isto é, eixo
para cima), basta substituir
e
nessas fórmulas.