Considere o campo de escoamento dado por \nabla=A x \operatorname{sen}(2 \pi \omega t)^{\wedge} i - Aysen (2 \pi \omega t) j, onde A=2 s^{-1} e \vec{\omega}=1 s^{-1}. A massa específica do fluido é 2 k g / m^{3}. Encontre expressões para aceleração local, aceleração convectiva e aceleração total. Avalie expressões para os gradientes de pressão \frac{\partial p}{\partial x} e \frac{\partial p}{\partial y} considerando a equação de Euler transiente nas respectivas direções,
\begin{aligned} & \rho\left[\frac{\partial u}{\partial t}+u \frac{\partial u}{\partial x}+v \frac{\partial u}{\partial y}\right]=\rho g_{x}-\frac{\partial p}{\partial x} \\\ & \rho\left[\frac{\partial v}{\partial t}+u \frac{\partial v}{\partial x}+v \frac{\partial v}{\partial y}\right]=\rho g_{x}-\frac{\partial p}{\partial x} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá um campo de velocidades oscilante e pede as acelerações local, convectiva e total, e as expressões dos gradientes de pressão usando a equação de Euler não-viscosa (transiente). Os dados e interpretações que vou usar (peguei estes símbolos do enunciado):
  • Velocidade escrita como (interpretação mais natural do texto):
    u(x,y,t)=A\,x\sin(2\pi\omega t) e v(x,y,t)=-A\,y\sin(2\pi\omega t).
    Ou seja, o campo de velocidade é \mathbf{v}(x,y,t)=A x\sin(2\pi\omega t)\,\hat{\imath}-A y\sin(2\pi\omega t)\,\hat{\jmath}.
  • Constantes: A=2\\ \mathrm{s}^{-1}, \omega=1\\ \mathrm{s}^{-1}.
  • Densidade: \rho=2\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} (interpretei “2 k g / m^{3}” como 2\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}).
  • A equação de Euler transiente para as componentes (corrigindo um provável erro de digitação do enunciado, que repetiu o mesmo lado direito): \rho\left[\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}\right]=\rho g_x-\frac{\partial p}{\partial x},
\rho\left[\frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}\right]=\rho g_y-\frac{\partial p}{\partial y},
onde g_x e g_y são as componentes do campo gravitacional (não fornecidas numericamente no enunciado).
  • O que é pedido:
    • expressões para aceleração local \mathbf{a}_{\text{local}}, convectiva \mathbf{a}_{\text{conv}} e total \mathbf{a};
    • avaliar (escrever) as expressões de \dfrac{\partial p}{\partial x} e \dfrac{\partial p}{\partial y} usando a equação de Euler (em termos de x,y,t e de g_x,g_y), substituindo os valores numéricos de A,\omega,\rho.

Passo 2

Conceitos e fórmulas importantes (uma mini-aula):
  • A aceleração total acompanhando uma partícula de fluido é a derivada material da velocidade: \frac{D\mathbf{v}}{Dt}=\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}.Aqui:
    • \dfrac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} é a aceleração local (variação temporal no ponto fixo),
    • (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v} é a aceleração convectiva (variação devido ao movimento espacial, transportada pela velocidade).
  • Em componentes cartesianas, para \mathbf{v}=(u,v): a_x=\frac{Du}{Dt}=\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y},
a_y=\frac{Dv}{Dt}=\frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}.
  • Para obter os gradientes de pressão, isolamos -\dfrac{\partial p}{\partial x} e -\dfrac{\partial p}{\partial y} nas equações de Euler acima: \frac{\partial p}{\partial x}=\rho g_x-\rho a_x,\qquad \frac{\partial p}{\partial y}=\rho g_y-\rho a_y.

Passo 3

Calcular todas as derivadas parciais necessárias a partir de
u(x,y,t)=A x\sin(2\pi\omega t),\qquad v(x,y,t)=-A y\sin(2\pi\omega t).
Definindo para abreviar S(t)=\sin(2\pi\omega t) e C(t)=\cos(2\pi\omega t). Então \dfrac{d}{dt}S(t)=2\pi\omega\,C(t).
Derivadas temporais:
\frac{\partial u}{\partial t}=A x\cdot\frac{d}{dt}S(t)=A x(2\pi\omega)C(t),
\frac{\partial v}{\partial t}=-A y\cdot\frac{d}{dt}S(t)=-A y(2\pi\omega)C(t).
Derivadas espaciais:
\frac{\partial u}{\partial x}=A S(t),\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=0,
\frac{\partial v}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial v}{\partial y}=-A S(t).

Passo 4

Aceleração local (a parte \partial\mathbf{v}/\partial t):
\mathbf{a}_{\text{local}}=\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}= \left(A x(2\pi\omega)C(t)\right)\hat{\imath}+\left(-A y(2\pi\omega)C(t)\right)\hat{\jmath}.
Em componentes:
a_{\text{local},x}=A x(2\pi\omega)C(t), \qquad a_{\text{local},y}=-A y(2\pi\omega)C(t).
Expliquei: isto é só derivar u e v em relação a t mantendo x,y fixos.

Passo 5

Aceleração convectiva (a parte (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}):
Calcular componente a componente:
  • Para x-componente:
    a_{\text{conv},x}=u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y} =(A x S(t))\cdot(A S(t))+(-A y S(t))\cdot 0 =A^{2} x S(t)^{2}.
  • Para y-componente:
    a_{\text{conv},y}=u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y} =(A x S(t))\cdot 0+(-A y S(t))\cdot(-A S(t)) =A^{2} y S(t)^{2}.
Observação didática: note que ambas componentes convectivas são proporcionais a x e y respectivamente e a S(t)^{2} (sempre positivas), porque a variação espacial da velocidade é linear em x,y.

Passo 6

Aceleração total somando local + convectiva:
Componentes:
a_x=a_{\text{local},x}+a_{\text{conv},x} = A x(2\pi\omega)C(t)+A^{2} x S(t)^{2},
a_y=a_{\text{local},y}+a_{\text{conv},y} = -A y(2\pi\omega)C(t)+A^{2} y S(t)^{2}.
Podemos fatorar x e y:
a_x=x\Big[A(2\pi\omega)C(t)+A^{2}S(t)^{2}\Big],
a_y=y\Big[-A(2\pi\omega)C(t)+A^{2}S(t)^{2}\Big].
Isto é \dfrac{D\mathbf{v}}{Dt}=(a_x)\hat{\imath}+(a_y)\hat{\jmath}.

Passo 7

Agora substituo os valores numéricos A=2, \omega=1, \rho=2. Lembrando S(t)=\sin(2\pi t) e C(t)=\cos(2\pi t). Cálculos dos coeficientes:
  • 2\pi\omega=2\pi.
  • A(2\pi\omega)=2\cdot 2\pi=4\pi.
  • A^{2}=4.
Portanto:
Aceleração local:
a_{\text{local},x}=4\pi\,x\,C(t),\qquad a_{\text{local},y}=-4\pi\,y\,C(t).
Aceleração convectiva:
a_{\text{conv},x}=4\,x\,S(t)^{2},\qquad a_{\text{conv},y}=4\,y\,S(t)^{2}.
Aceleração total:
a_x=x\big(4\pi C(t)+4 S(t)^{2}\big), \qquad a_y=y\big(-4\pi C(t)+4 S(t)^{2}\big).

Passo 8

Usando a equação de Euler em cada direção para obter os gradientes de pressão:
\frac{\partial p}{\partial x}=\rho g_x-\rho a_x, \qquad \frac{\partial p}{\partial y}=\rho g_y-\rho a_y.
Substituindo \rho=2 e as expressões de a_x,a_y obtidas:
\frac{\partial p}{\partial x}=2\,g_x-2\;x\big(4\pi C(t)+4 S(t)^{2}\big),
\frac{\partial p}{\partial y}=2\,g_y-2\;y\big(-4\pi C(t)+4 S(t)^{2}\big).
Simplificando os fatores numéricos (multiplicando por 2):
\frac{\partial p}{\partial x}=2\,g_x-8\pi\,x\,C(t)-8\,x\,S(t)^{2},
\frac{\partial p}{\partial y}=2\,g_y+8\pi\,y\,C(t)-8\,y\,S(t)^{2}.
Observação: se quiser um caso comum com gravidade vertical g_y=-g e g_x=0 (isto é, eixo y para cima), basta substituir g_x=0 e g_y=-g nessas fórmulas.

Resposta

\displaystyle a_{\text{local}}=\big(4\pi x\cos(2\pi t)\big)\,\hat{\imath}+\big(-4\pi y\cos(2\pi t)\big)\,\hat{\jmath}
\displaystyle a_{\text{conv}}=\big(4x\sin^{2}(2\pi t)\big)\,\hat{\imath}+\big(4y\sin^{2}(2\pi t)\big)\,\hat{\jmath}
\displaystyle a=\frac{D\mathbf{v}}{Dt}= \big[x(4\pi\cos(2\pi t)+4\sin^{2}(2\pi t))\big]\,\hat{\imath}+\big[y(-4\pi\cos(2\pi t)+4\sin^{2}(2\pi t))\big]\,\hat{\jmath}
\displaystyle \frac{\partial p}{\partial x}=2\,g_x-8\pi\,x\cos(2\pi t)-8\,x\sin^{2}(2\pi t)
\displaystyle \frac{\partial p}{\partial y}=2\,g_y+8\pi\,y\cos(2\pi t)-8\,y\sin^{2}(2\pi t)

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