Os três componentes do vetor velocidade de um escoamento são:
\begin{aligned} & u=x^{2}+y^{2}+z^{2} \\\ & v=x y+y z+z^{2} \\\ & w=-3 x z-\frac{z^{2}}{2}+4 \end{aligned}
(a) Determine a taxa de dilatação volumétrica e interprete o resultado.
(b) Determine a expressão do vetor rotação. Este escoamento é irrotacional?

Passo 1

O enunciado dá as componentes do campo de velocidades em função de x,y,z:
\begin{aligned} & u(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2},\\[4pt] & v(x,y,z)=x y+y z+z^{2},\\[4pt] & w(x,y,z)=-3 x z-\dfrac{z^{2}}{2}+4. \end{aligned}
As perguntas são:
(a) Determinar a taxa de dilatação volumétrica (ou seja, o divergente do campo de velocidade) e interpretar o resultado.
(b) Determinar a expressão do vetor rotação (ou seja, o rotacional / curl) e concluir se o escoamento é irrotacional.]

Passo 2

Definição e cálculo da taxa de dilatação volumétrica.
  • Definição: a taxa de dilatação volumétrica é o divergente do campo de velocidade \mathbf{v}=(u,v,w),
\nabla\cdot\mathbf{v}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}.
Cada termo é a derivada parcial do componente correspondente em relação à sua coordenada.
  • Calcular as derivadas parciais termo a termo:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)=2x,
\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(xy+yz+z^{2}\bigr)=x+z,
\frac{\partial w}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(-3xz-\tfrac{z^{2}}{2}+4\Bigr)=-3x - z.
  • Somando:
\nabla\cdot\mathbf{v}=2x+(x+z)+(-3x-z)=0.
Portanto a taxa de dilatação volumétrica é zero em todo ponto.

Passo 3

Interpretação do resultado (explicação didática).
  • O divergente \nabla\cdot\mathbf{v} mede a taxa relativa de variação do volume de um pequeno elemento de fluido que se move com o escoamento. Mais precisamente, se \delta V é um volume material muito pequeno, então a taxa de variação relativa é
\frac{1}{\delta V}\frac{d(\delta V)}{dt}=\nabla\cdot\mathbf{v}.
  • Como \nabla\cdot\mathbf{v}=0 em todo lugar, cada volume material infinitesimal mantém seu volume ao longo do movimento. Em termos de fluidos, isso significa que o escoamento é localmente incompressível (ou preserva volumes). Em palavras mais simples: não há expansão nem compressão local do fluido.

Passo 4

Definição e cálculo do vetor rotação (rotacional / curl).
  • Definição: o rotacional é dado por
\nabla\times\mathbf{v}=\begin{pmatrix} \frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z}\\[4pt] \frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x}\\[4pt] \frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y} \end{pmatrix}.
Ele mede a tendência local de rotação do fluido (o vetor velocidade de rotação local é \tfrac{1}{2}\nabla\times\mathbf{v}).
  • Calcular as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial w}{\partial y}=0\quad\text{(pois \(w\) não depende de \(y\))},ã
\frac{\partial v}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(xy+yz+z^{2}\bigr)=y+2z,
\frac{\partial u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)=2z,
\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(-3xz-\tfrac{z^{2}}{2}+4\Bigr)=-3z,
\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(xy+yz+z^{2}\bigr)=y,
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)=2y.
  • Montando cada componente do rotacional:
(\nabla\times\mathbf{v})_{x}=0-(y+2z)=-y-2z,
(\nabla\times\mathbf{v})_{y}=2z-(-3z)=5z,
(\nabla\times\mathbf{v})_{z}=y-2y=-y.
  • Logo o rotacional é
\nabla\times\mathbf{v}=\bigl\langle -y-2z,\;5z,\;-y\bigr\rangle.]

Passo 5

Conclusão sobre irrotacionalidade e comentário físico.
  • Um escoamento é irrotacional se e somente se \nabla\times\mathbf{v}=\mathbf{0} em todo o domínio. Aqui \nabla\times\mathbf{v}=\langle -y-2z,\,5z,\,-y\rangle, que não é o vetor nulo para pontos genéricos (x,y,z) (por exemplo, para z\neq 0 a componente y do rotacional é 5z\neq 0).
  • Portanto o escoamento não é irrotacional, exceto em pontos isolados que satisfaçam simultaneamente y=0 e z=0 (nesses pontos o rotacional é zero, mas isso não faz o campo globalmente irrotacional).

Resposta

(a) \nabla\cdot\mathbf{v}=0. Taxa de dilatação volumétrica nula — o escoamento preserva volumes localmente (incompressível).
(b) \nabla\times\mathbf{v}=\bigl\langle -y-2z,\;5z,\;-y\bigr\rangle. O escoamento não é irrotacional (o rotacional não é nulo em geral).

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