As perguntas são:
(a) Determinar a taxa de dilatação volumétrica (ou seja, o divergente do campo de velocidade) e interpretar o resultado.
(b) Determinar a expressão do vetor rotação (ou seja, o rotacional / curl) e concluir se o escoamento é irrotacional.]
Passo 2
Definição e cálculo da taxa de dilatação volumétrica.
Definição: a taxa de dilatação volumétrica é o divergente do campo de velocidade \mathbf{v}=(u,v,w),
\frac{\partial w}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(-3xz-\tfrac{z^{2}}{2}+4\Bigr)=-3x - z.
Somando:
\nabla\cdot\mathbf{v}=2x+(x+z)+(-3x-z)=0.
Portanto a taxa de dilatação volumétrica é zero em todo ponto.
Passo 3
Interpretação do resultado (explicação didática).
O divergente \nabla\cdot\mathbf{v} mede a taxa relativa de variação do volume de um pequeno elemento de fluido que se move com o escoamento. Mais precisamente, se \delta V é um volume material muito pequeno, então a taxa de variação relativa é
Como \nabla\cdot\mathbf{v}=0 em todo lugar, cada volume material infinitesimal mantém seu volume ao longo do movimento. Em termos de fluidos, isso significa que o escoamento é localmente incompressível (ou preserva volumes). Em palavras mais simples: não há expansão nem compressão local do fluido.
Passo 4
Definição e cálculo do vetor rotação (rotacional / curl).
Conclusão sobre irrotacionalidade e comentário físico.
Um escoamento é irrotacional se e somente se \nabla\times\mathbf{v}=\mathbf{0} em todo o domínio. Aqui \nabla\times\mathbf{v}=\langle -y-2z,\,5z,\,-y\rangle, que não é o vetor nulo para pontos genéricos (x,y,z) (por exemplo, para z\neq 0 a componente y do rotacional é 5z\neq 0).
Portanto o escoamento não é irrotacional, exceto em pontos isolados que satisfaçam simultaneamente y=0 e z=0 (nesses pontos o rotacional é zero, mas isso não faz o campo globalmente irrotacional).
Resposta
(a) \nabla\cdot\mathbf{v}=0. Taxa de dilatação volumétrica nula — o escoamento preserva volumes localmente (incompressível).
(b) \nabla\times\mathbf{v}=\bigl\langle -y-2z,\;5z,\;-y\bigr\rangle. O escoamento não é irrotacional (o rotacional não é nulo em geral).