A única força importante num escoamento bidimensional, em regime permanente e invíscido é a de campo. O peso específico do fluido é igual a
. O componente na direção
do vetor velocidade do escoamento é
, onde
é
dado em metros e u em
. O componente na direção y do vetor velocidade do escoamento é só função de y. O eixo y é vertical e a velocidade na origem do sistema de coordenadas é nula.
(a) Determine o componente na direção y do vetor velocidade do escoamento de modo que a equação da continuidade seja satisfeita.
(b) A diferença entre as pressões nos pontos
e
,
) pode ser calculada com a equação de Bernoulli? Justifique sua resposta.
dado em metros e u em
(a) Determine o componente na direção y do vetor velocidade do escoamento de modo que a equação da continuidade seja satisfeita.
(b) A diferença entre as pressões nos pontos
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tomei estes dados diretamente do enunciado).
Dados:
- Escoamento bidimensional, em regime permanente e invíscido.
- A única força importante é uma força de campo (peso específico dado).
- Peso específico do fluido:
. - Componente
da velocidade: (com em metros e em ). - Componente
da velocidade depende só de : . - O eixo
é vertical. - A velocidade na origem é nula:
e .
O enunciado pede:
(a) Determinar de modo que a equação da continuidade seja satisfeita.
(b) Dizer se a diferença de pressões entre os pontos e
pode ser calculada com a equação de Bernoulli, justificando a resposta (ou seja: dizer se Bernoulli é aplicável e, se sim, permito calcular a diferença).
(a) Determinar
(b) Dizer se a diferença de pressões entre os pontos
Passo 2
Entendendo a continuidade e como ela se aplica aqui (aulas rápidas).
- Para um fluido incompressível em regime permanente em 2D (variáveis
e ), a equação da continuidade é
Explicando:
mede quanto a componente horizontal da velocidade varia ao mover-se em
;
mede a variação vertical de
. Para incompressível, a soma destas derivadas deve ser zero — nada se “acumula” nem “some” localmente.
Aplicando ao nosso caso:
- Sabemos
. Então
- Como
é função apenas de , .
Substituindo na continuidade:
Passo 3
Integração da equação diferencial obtida e aplicação da condição na origem.
- A equação diferencial é
- Integro em
:
onde
é constante de integração.
- Uso a condição dada: a velocidade na origem é nula; em particular a componente
na origem vale . Então
Portanto
Passo 4
Interpretação do resultado e unidades.
- A componente vertical é
em . Isso significa, por exemplo, que em o fluxo tem componente vertical negativa (para baixo) e em para cima, consistente com . - Confirmação rápida: com
e ,
logo a continuidade é satisfeita.
Passo 5
Condições de validade da equação de Bernoulli e verificação para este escoamento (aula sobre Bernoulli).
- A forma usual da equação de Bernoulli para escoamento incompressível, estacionário e sob forças de corpo conservativas é
onde:
-
é a pressão, -
é a massa específica ( ), -
é a velocidade escalar local ( ), -
é a aceleração da gravidade (positivo, normalmente ), -
é a coordenada vertical (positivo para cima na convenção usada aqui). -
Importante: Bernoulli, sob as hipóteses citadas (inviscidez, regime permanente, forças de corpo conservativas), garante a constante ao longo de cada linha de corrente. Para que a mesma constante seja válida em todo o campo de escoamento (entre quaisquer dois pontos indiferente da linha de corrente), precisa-se adicionalmente que o escoamento seja irrotacional (vorticidade zero).
-
Vamos verificar rotação (vorticidade) do escoamento 2D: componente fora do plano (direção
) é
Aqui
. E
. Logo
Portanto o escoamento é irrotacional. As demais hipóteses (inviscidez, regime permanente e força de campo conservativa — peso específico) também são satisfeitas conforme enunciado.
Conclusão lógica: Bernoulli é aplicável entre quaisquer dois pontos do campo (não apenas ao longo de uma mesma linha de corrente), porque o escoamento é estacionário, invíscido, com força de corpo conservativa e é irrotacional.
Passo 6
Aplicação prática de Bernoulli entre os dois pontos e preparação das contas.
-
Denotemos:
- ponto 1:
, - ponto 2:
.
- ponto 1:
-
Bernoulli entre 1 e 2 (constante em todo o campo) dá
Rearranjando para a diferença
:
(Estou deixando assim porque é forma direta de calcular a diferença de pressão pedida.)
- Vamos calcular os termos:
- Primeiro, as componentes de velocidade nos pontos. Em ambos pontos
. - Em
: . - Em
: .
- Em
- Módulos quadrados:
- Primeiro, as componentes de velocidade nos pontos. Em ambos pontos
Assim
\[V_2^2-V_1^2 = 56,843496-6,6978 = 50,145696\\ (\mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2).\]
- Relação entre
e : . Tomando ,
Passo 7
Cálculo numérico da diferença de pressão.
- Termo cinético:
- Termo potencial (gravidade):
- Somando,
Arredondando para três algarismos significativos:
Passo 8
Resumo final curto e encorajamento (feito); já mostrei passo a passo como obter
, verifiquei as hipóteses de Bernoulli e calculei a diferença de pressão pedida.
Resposta
(a)
(b) Sim. A equação de Bernoulli é aplicável entre esses pontos (escoamento estacionário, invíscido, forças de corpo conservativas e fluxo irrotacional), e