A única força importante num escoamento bidimensional, em regime permanente e invíscido é a de campo. O peso específico do fluido é igual a 7855 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3}. O componente na direção x do vetor velocidade do escoamento é u=6 x, onde x é
dado em metros e u em \mathrm{m} / \mathrm{s}. O componente na direção y do vetor velocidade do escoamento é só função de y. O eixo y é vertical e a velocidade na origem do sistema de coordenadas é nula.
(a) Determine o componente na direção y do vetor velocidade do escoamento de modo que a equação da continuidade seja satisfeita.
(b) A diferença entre as pressões nos pontos (\mathrm{x}=0,305 \mathrm{~m}, \mathrm{y}=0,305 \mathrm{~m}) e (\mathrm{x}=0,305 \mathrm{~m}, \mathrm{y}=1,219 \mathrm{~m} ) pode ser calculada com a equação de Bernoulli? Justifique sua resposta.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tomei estes dados diretamente do enunciado).
Dados:
  • Escoamento bidimensional, em regime permanente e invíscido.
  • A única força importante é uma força de campo (peso específico dado).
  • Peso específico do fluido: \gamma = 7855\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^3.
  • Componente x da velocidade: u=6x (com x em metros e u em \mathrm{m}/\mathrm{s}).
  • Componente y da velocidade depende só de y: v=v(y).
  • O eixo y é vertical.
  • A velocidade na origem é nula: u(0,0)=0 e v(0,0)=0.
O enunciado pede:
(a) Determinar v(y) de modo que a equação da continuidade seja satisfeita.
(b) Dizer se a diferença de pressões entre os pontos (x=0,305\\ \mathrm{m},\;y=0,305\\ \mathrm{m}) e (x=0,305\\ \mathrm{m},\;y=1,219\\ \mathrm{m}) pode ser calculada com a equação de Bernoulli, justificando a resposta (ou seja: dizer se Bernoulli é aplicável e, se sim, permito calcular a diferença).

Passo 2

Entendendo a continuidade e como ela se aplica aqui (aulas rápidas).
  • Para um fluido incompressível em regime permanente em 2D (variáveis x e y), a equação da continuidade é
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0.
Explicando: \partial u/\partial x mede quanto a componente horizontal da velocidade varia ao mover-se em x; \partial v/\partial y mede a variação vertical de v. Para incompressível, a soma destas derivadas deve ser zero — nada se “acumula” nem “some” localmente.
Aplicando ao nosso caso:
  • Sabemos u=6x. Então
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial (6x)}{\partial x}=6.
  • Como v é função apenas de y, \partial v/\partial y = v'(y).
Substituindo na continuidade:
6 + v'(y)=0.

Passo 3

Integração da equação diferencial obtida e aplicação da condição na origem.
  • A equação diferencial é
v'(y)=-6.
  • Integro em y:
v(y) = \int -6\,dy = -6y + C,
onde C é constante de integração.
  • Uso a condição dada: a velocidade na origem é nula; em particular a componente y na origem vale v(0)=0. Então
v(0) = -6\cdot 0 + C = 0 \quad\Rightarrow\quad C=0.
Portanto
v(y)=-6y.

Passo 4

Interpretação do resultado e unidades.
  • A componente vertical é \displaystyle v(y)=-6y em \mathrm{m}/\mathrm{s}. Isso significa, por exemplo, que em y>0 o fluxo tem componente vertical negativa (para baixo) e em y<0 para cima, consistente com v(0)=0.
  • Confirmação rápida: com u=6x e v=-6y,
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=6+(-6)=0,
logo a continuidade é satisfeita.

Passo 5

Condições de validade da equação de Bernoulli e verificação para este escoamento (aula sobre Bernoulli).
  • A forma usual da equação de Bernoulli para escoamento incompressível, estacionário e sob forças de corpo conservativas é
p+\tfrac{1}{2}\rho V^2+\rho g y=\text{constante ao longo de uma linha de corrente},
onde:
  • p é a pressão,
  • \rho é a massa específica ( \rho=\gamma/g),
  • V é a velocidade escalar local ( V=\sqrt{u^2+v^2}),
  • g é a aceleração da gravidade (positivo, normalmente g\approx 9,81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2),
  • y é a coordenada vertical (positivo para cima na convenção usada aqui).
  • Importante: Bernoulli, sob as hipóteses citadas (inviscidez, regime permanente, forças de corpo conservativas), garante a constante ao longo de cada linha de corrente. Para que a mesma constante seja válida em todo o campo de escoamento (entre quaisquer dois pontos indiferente da linha de corrente), precisa-se adicionalmente que o escoamento seja irrotacional (vorticidade zero).
  • Vamos verificar rotação (vorticidade) do escoamento 2D: componente fora do plano (direção z) é
\omega_z=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}.
Aqui v=v(y)\Rightarrow \partial v/\partial x=0. E u=6x\Rightarrow \partial u/\partial y=0. Logo
\omega_z=0-0=0.
Portanto o escoamento é irrotacional. As demais hipóteses (inviscidez, regime permanente e força de campo conservativa — peso específico) também são satisfeitas conforme enunciado.
Conclusão lógica: Bernoulli é aplicável entre quaisquer dois pontos do campo (não apenas ao longo de uma mesma linha de corrente), porque o escoamento é estacionário, invíscido, com força de corpo conservativa e é irrotacional.

Passo 6

Aplicação prática de Bernoulli entre os dois pontos e preparação das contas.
  • Denotemos:
    • ponto 1: (x_1=0,305\\ \mathrm{m},\;y_1=0,305\\ \mathrm{m}),
    • ponto 2: (x_2=0,305\\ \mathrm{m},\;y_2=1,219\\ \mathrm{m}).
  • Bernoulli entre 1 e 2 (constante em todo o campo) dá
p_1+\tfrac{1}{2}\rho V_1^2+\rho g y_1 = p_2+\tfrac{1}{2}\rho V_2^2+\rho g y_2.
Rearranjando para a diferença p_1-p_2:
p_1-p_2 = \tfrac{1}{2}\rho\bigl(V_2^2-V_1^2\bigr)+\rho g\bigl(y_2-y_1\bigr).
(Estou deixando assim porque é forma direta de calcular a diferença de pressão pedida.)
  • Vamos calcular os termos:
    1. Primeiro, as componentes de velocidade nos pontos. Em ambos pontos u=6x=6\cdot 0,305=1,83\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
      • Em y_1=0,305: v_1=-6y_1=-6\cdot 0,305=-1,83\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
      • Em y_2=1,219: v_2=-6y_2=-6\cdot 1,219=-7,314\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
    2. Módulos quadrados: V_1^2 = u^2+v_1^2 = 1,83^2+(-1,83)^2 = 2\cdot 1,83^2 = 6,6978\\ (\mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2).
V_2^2 = 1,83^2+(-7,314)^2 = 3,3489+53,494596 = 56,843496\\ (\mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2).
 Assim
 \[V_2^2-V_1^2 = 56,843496-6,6978 = 50,145696\\ (\mathrm{m}^2/\mathrm{s}^2).\]
  1. Relação entre \gamma e \rho: \gamma=\rho g\Rightarrow \rho=\gamma/g. Tomando g=9,81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2, \rho=\frac{7855}{9,81}\approx 800,713\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.

Passo 7

Cálculo numérico da diferença de pressão.
  • Termo cinético:
\tfrac{1}{2}\rho\bigl(V_2^2-V_1^2\bigr)=\tfrac{1}{2}\cdot 800,713\cdot 50,145696 \approx 20076,46\\ \mathrm{Pa}.
  • Termo potencial (gravidade):
\rho g (y_2-y_1) = \gamma(y_2-y_1)=7855\cdot(1,219-0,305)=7855\cdot 0,914 = 7179,47\\ \mathrm{Pa}.
  • Somando,
p_1-p_2 \approx 20076,46 + 7179,47 = 27255,93\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando para três algarismos significativos:
p_1-p_2 \approx 2,726\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 8

Resumo final curto e encorajamento (feito); já mostrei passo a passo como obter v(y), verifiquei as hipóteses de Bernoulli e calculei a diferença de pressão pedida.

Resposta

(a) v(y)=-6y\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}
(b) Sim. A equação de Bernoulli é aplicável entre esses pontos (escoamento estacionário, invíscido, forças de corpo conservativas e fluxo irrotacional), e
p(0,305,0,305)-p(0,305,1,219)\approx 2,726\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}

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