Considere o campo de força no plano
dado por
O trabalho
realizado por uma partícula que se desloca neste campo, dando uma volta no sentido anti-horário em torno do círculo de centro
e raio 5 , é da forma
para um número inteiro
. Calcule
.
O trabalho
Passo 1
Então, temos um campo de força no plano definido por $ F(x, y) = -y, \partial_x + x, \partial_y $. A questão pede para calcular o trabalho $ \tau $ realizado por uma partícula que percorre uma volta anti-horária ao redor de um círculo com centro em $ (30, 0) $ e raio 5. Sabemos que $ \tau = \pi N $, onde $ N $ é um número inteiro que precisamos encontrar. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de trabalho em campos de força através de integrais de linha e o teorema de Green.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o trabalho realizado por uma partícula em um campo de força. O trabalho $ \tau $ é dado pela integral de linha do campo de força ao longo do caminho percorrido pela partícula. Matemáticamente, isso é expresso como:
onde $ C $ é o caminho fechado (no nosso caso, o círculo) e $ \mathbf{F} $ é o campo de força.
Passo 3
Nosso campo de força é $ \mathbf{F}(x, y) = (-y, x) $. Vamos parametrizar o caminho $ C $ como um círculo com centro em $ (30, 0) $ e raio 5. Podemos escrever as coordenadas $ (x, y) $ no círculo da seguinte forma:
onde $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $ para completar uma volta.
Passo 4
Agora, vamos calcular os diferenciais $ dx $ e $ dy $:
Passo 5
Substituindo $ x $ e $ y $ na expressão do campo de força $ \mathbf{F} $:
Passo 6
Calculamos o produto escalar $ \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $:
Passo 7
Integrando de $ 0 $ a $ 2\pi $:
Sabemos que:
Passo 8
Substituindo os valores das integrais:
Resposta
O valor de $ N $ é 50.