Considere o campo de força no plano R^2 dado por
F(x, y)=-y partialx+x partialy
O trabalho tau realizado por uma partícula que se desloca neste campo, dando uma volta no sentido anti-horário em torno do círculo de centro (30,0) e raio 5 , é da forma tau=pi N para um número inteiro N. Calcule N.
square

Passo 1

Então, temos um campo de força no plano definido por $ F(x, y) = -y, \partial_x + x, \partial_y $. A questão pede para calcular o trabalho $ \tau $ realizado por uma partícula que percorre uma volta anti-horária ao redor de um círculo com centro em $ (30, 0) $ e raio 5. Sabemos que $ \tau = \pi N $, onde $ N $ é um número inteiro que precisamos encontrar. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de trabalho em campos de força através de integrais de linha e o teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o trabalho realizado por uma partícula em um campo de força. O trabalho $ \tau $ é dado pela integral de linha do campo de força ao longo do caminho percorrido pela partícula. Matemáticamente, isso é expresso como:
tau
onde $ C $ é o caminho fechado (no nosso caso, o círculo) e $ \mathbf{F} $ é o campo de força.

Passo 3

Nosso campo de força é $ \mathbf{F}(x, y) = (-y, x) $. Vamos parametrizar o caminho $ C $ como um círculo com centro em $ (30, 0) $ e raio 5. Podemos escrever as coordenadas $ (x, y) $ no círculo da seguinte forma:
F(x, y) = (-y, x)
C
onde $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $ para completar uma volta.

Passo 4

Agora, vamos calcular os diferenciais $ dx $ e $ dy $:
dx
dy

Passo 5

Substituindo $ x $ e $ y $ na expressão do campo de força $ \mathbf{F} $:
x

Passo 6

Calculamos o produto escalar $ \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $:
F cdot dr
F cdot dr = (-5 sin theta)(-5 sin theta , dtheta) + (30 + 5 cos theta)(5 cos theta , dtheta)

Passo 7

Integrando de $ 0 $ a $ 2\pi $:
0
Sabemos que:
2pi
tau = integral0^2pi [25 sin^2 theta + 150 cos theta + 25 cos^2 theta] , dtheta

Passo 8

Substituindo os valores das integrais:
tau = 25 cdot pi + 150 cdot 0 + 25 cdot pi = 50pi

Resposta

O valor de $ N $ é 50.

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