Seja c a velocidade da luz. No plano com coordenadas (t, x), definimos o tempo próprio tau de uma partícula que se move ao longo de um caminho gamma como o comprimento segundo a métrica d s^2=c^2 d t^2-d x^2 dividido por c, ou seja, como a integral
tau=1c integralgamma raizc^2 d t^2-d x^2
(a interpretação física do tempo próprio é o tempo medido por um relógio que se move ao longo de gamma, veja https://en.wikipedia.org/wiki/Proper_time).
Calcule o tempo próprio de uma partícula acelerada que se move segundo x(t)=c sin (t) entre t=0 e
t=arccos 66100.
Use ponto para separar a parte fracionária e dê a resposta com pelo menos 3 casas decimais após o ponto decimal.
square

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com tempo próprio em relatividade especial. O problema nos dá a trajetória de uma partícula: $ x(t) = c \sin(t) $, e quer calcular o tempo próprio x(t) = c sin(t) dessa partícula entre $ t = 0 $ e $ t = \arccos\left(\frac{66}{100}\right) $. Para isso, vamos usar a fórmula do tempo próprio:
tau

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de $ x(t) $ em relação ao tempo $ t $, ou seja, $ \frac{dx}{dt} $. Dado que $ x(t) = c \sin(t) $, derivando temos:
x(t)

Passo 3

Agora, vamos substituir $ \frac{dx}{dt} $ na expressão dentro da raiz da integral:
dxdt
Sabemos que $ 1 - \cos^{2}(t) = \sin^{2}(t) $, então:
c^2 dt^2 - dx^2 = c^2 - (c cos(t))^2 = c^2 - c^2 cos^2(t) = c^2 (1 - cos^2(t))
Coletando a raiz:
1 - cos^2(t) = sin^2(t)

Passo 4

Substituindo de volta na fórmula do tempo próprio:
tau = 1c integral0^arccos(66100) c sin(t) , dt
Os $ c $ se cancelam:
c

Passo 5

Vamos integrar $ \sin(t) $:
sin(t)
Aplicando os limites de integração:
integral sin(t) , dt = -cos(t) + C
Sabemos que $ \cos(\arccos(a)) = a $ e $ \cos(0) = 1 $, então:
tau = [ -cos(t) ]0^arccos(66100) = -cos(arccos(66100)) + cos(0)

Resposta

tau = 0.340

Exercícios relacionados