Seja
a velocidade da luz. No plano com coordenadas
, definimos o tempo próprio
de uma partícula que se move ao longo de um caminho
como o comprimento segundo a métrica
dividido por
, ou seja, como a integral
(a interpretação física do tempo próprio é o tempo medido por um relógio que se move ao longo de
, veja https://en.wikipedia.org/wiki/Proper_time).
Calcule o tempo próprio de uma partícula acelerada que se move segundo
entre
e
.
Use ponto para separar a parte fracionária e dê a resposta com pelo menos 3 casas decimais após o ponto decimal.
(a interpretação física do tempo próprio é o tempo medido por um relógio que se move ao longo de
Use ponto para separar a parte fracionária e dê a resposta com pelo menos 3 casas decimais após o ponto decimal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com tempo próprio em relatividade especial. O problema nos dá a trajetória de uma partícula: $ x(t) = c \sin(t) $, e quer calcular o tempo próprio
dessa partícula entre $ t = 0 $ e $ t = \arccos\left(\frac{66}{100}\right) $. Para isso, vamos usar a fórmula do tempo próprio:
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de $ x(t) $ em relação ao tempo $ t $, ou seja, $ \frac{dx}{dt} $. Dado que $ x(t) = c \sin(t) $, derivando temos:
Passo 3
Agora, vamos substituir $ \frac{dx}{dt} $ na expressão dentro da raiz da integral:
Sabemos que $ 1 - \cos^{2}(t) = \sin^{2}(t) $, então:
Coletando a raiz:
Passo 4
Substituindo de volta na fórmula do tempo próprio:
Os $ c $ se cancelam:
Passo 5
Vamos integrar $ \sin(t) $:
Aplicando os limites de integração:
Sabemos que $ \cos(\arccos(a)) = a $ e $ \cos(0) = 1 $, então: