Uma capivara anda à margem de um rio, que está coberta de lama. A lama fica cada vez mais pegajosa quanto mais próxima do rio, de modo que a cada instante a velocidade da capivara é diretamente proporcional à sua distância ao rio.
Suponha (num modelo no plano R^2 ) que o rio se encontra sobre o eixo x e que a capivara quer ir do ponto A=(-65,65 raiz3) ao ponto B=(65,65 raiz3).
Suponha que a capivara leva 750 segundos para ir em linha reta de A até B. Se ela caminhar ao longo do menor arco de circunferência com centro na origem (0,0) e que passa por A e B, ela levará N cdot raiz3 cdot ln (3) segundos para algum inteiro N.
Qual o valor de N ?
square

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve cinemática e cálculo, especificamente integrando para encontrar o tempo que a capivara leva para caminhar ao longo de um arco de circunferência. A situação é a seguinte:
  • Enunciado resumido: Uma capivara quer ir do ponto A=(-65, 65√3) ao ponto B=(65, 65√3) à margem de um rio. A velocidade dela é proporcional à distância do rio (eixo x). Levando 750 segundos para ir em linha reta de A a B, queremos descobrir o valor de N na expressão do tempo quando ela caminha ao longo do menor arco de circunferência centrado na origem.
Para resolver, vamos precisar usar geometria analítica para entender os pontos no plano, proporcionalidade direta para a velocidade e integração para calcular o tempo ao longo do arco.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a posição dos pontos A e B no plano. Ambos estão a mesma altura acima do rio (eixo x), já que têm a mesma coordenada y = 65√3. As coordenadas são:
  • Ponto A: (-65, 65√3)
  • Ponto B: (65, 65√3)
Isso significa que a capivara está se movendo de um ponto à esquerda para um ponto à direita, mantendo a mesma altura em relação ao rio.

Passo 3

Vamos calcular a distância em linha reta entre A e B. Como estão no mesmo nível horizontal (mesma coordenada y), a distância é simplesmente a diferença nas coordenadas x:
Distância = 65 - (-65) = 130 unidades â
Sabemos que ela leva 750 segundos para percorrer esses 130 unidades em linha reta. Portanto, a velocidade (v) dela nessa trajetória é:
v = distânciatempo = 130750 = 1375 unidades por segundo â

Passo 4

Agora, vamos considerar o movimento ao longo do arco de circunferência. O arco tem centro na origem (0,0) e passa por A e B. Primeiro, precisamos encontrar o raio ® dessa circunferência:
Utilizando a fórmula da distância do ponto à origem:
r = raiz(-65)^2 + (65raiz3)^2 = raiz4225 + 12675 = raiz16900 = 130 unidades

Passo 5

A velocidade da capivara ao longo do arco é proporcional à distância do rio, que é a coordenada y. Então, podemos expressar a velocidade como:
v(theta) = k cdot y
Onde:
  • $ \theta $ é o ângulo no círculo.
  • $ k $ é a constante de proporcionalidade que queremos encontrar.
Sabemos que na trajetória em linha reta, onde y = 65√3, a velocidade é $ \frac{13}{75} $. Portanto:
theta
Resolvendo para k:
k

Passo 6

Agora, vamos calcular o tempo necessário para percorrer o arco. O tempo é a integral do diferencial de tempo, que depende do comprimento do arco e da velocidade:
dt = dsv(theta)
Onde:
  • $ ds = r \cdot d\theta $ é o diferencial de comprimento do arco.
  • $ v(\theta) = \frac{1}{375\sqrt{3}} \cdot r\sin\theta $, já que y = r sinθ.
Substituindo:
ds = r cdot dtheta

Passo 7

Agora, precisamos integrar $ dt $ para encontrar o tempo total. Os pontos A e B correspondem a $ \theta = \frac{\pi}{3} $ e $ \theta = \frac{2\pi}{3} $, respectivamente. Então:
dt
A integral de $ \frac{1}{\sin\theta} $ é $ \ln|\tan(\theta/2)| $. Calculando:
theta = pi3
theta = 2pi3
T = 375raiz3 integralpi3^2pi3 dthetasintheta
1sintheta
ln|tan(theta/2)|
T = 375raiz3 [ ln|tan(2pi6)| - ln|tan(pi6)| ]

Resposta

O valor de $ N $ é 375.

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