Considere a função
Sobre essa função, resolva os itens a seguir:
(a) Determine os valores de
e
no ponto
.
(b) Encontre a aproximação linear
de
no ponto
, e use-a para estimar o valor de
quando
e
.
(a) Determine os valores de
(b) Encontre a aproximação linear
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem a função
e pede:
(a) as derivadas parciais e
no ponto
;
(b) a aproximação linear (ou plano tangente) de em
e, usando essa aproximação, estimar
quando
e
.
(a) as derivadas parciais
(b) a aproximação linear (ou plano tangente) de
O conteúdo é:
- Derivadas parciais (pra ver a taxa de variação em cada direção);
- Aproximação linear (plano tangente via diferencial).
Pra resolver, a gente vai usar as regras básicas de derivação e a fórmula do plano tangente:
Passo 2
Vamos achar as derivadas parciais no geral:
- Derivada parcial em relação a
, tratando como constante:
- Derivada parcial em relação a
, tratando como constante:
Passo 3
Agora, a gente avalia essas derivadas no ponto
:
Passo 4
Montamos a aproximação linear (plano tangente) em
:
Primeiro
.
Então
Então
Passo 5
Pra estimar
em
, é só pôr na
:
Resposta
(a)
e
.
(b) e, com
,
, obtemos
.
(b)