Considere a função
z=f(x, y)=x^2+x y-y^2
Sobre essa função, resolva os itens a seguir:
(a) Determine os valores de partial zpartial x e partial zpartial y no ponto (x0, y0)=(1,-1).
(b) Encontre a aproximação linear L(x, y) de f(x, y) no ponto (1,-1), e use-a para estimar o valor de z= f(x, y) quando x=0,9 e y=-1,1.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem a função
z = f(x,y) = x^2 + x,y - y^2
e pede:
(a) as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y no ponto (1,-1);
(b) a aproximação linear (ou plano tangente) de f em (1,-1) e, usando essa aproximação, estimar z quando x=0,9 e y=-1,1.
O conteúdo é:
  • Derivadas parciais (pra ver a taxa de variação em cada direção);
  • Aproximação linear (plano tangente via diferencial).
Pra resolver, a gente vai usar as regras básicas de derivação e a fórmula do plano tangente:
L(x,y)=f(a,b)+fx(a,b),(x-a)+fy(a,b),(y-b)

Passo 2

Vamos achar as derivadas parciais no geral:
  1. Derivada parcial em relação a x, tratando y como constante:
partial zpartial x =partialpartial xl(x^2r) +partialpartial xl(xyr) -partialpartial xl(y^2r) =2x + y - 0 =2x + y
  1. Derivada parcial em relação a y, tratando x como constante:
partial zpartial y =partialpartial yl(x^2r) +partialpartial yl(xyr) -partialpartial yl(y^2r) =0 + x - 2y =x - 2y

Passo 3

Agora, a gente avalia essas derivadas no ponto (1,-1):
partial zpartial x(1,-1) =2cdot1 + (-1) =2 -1 =1,
partial zpartial y(1,-1) =1 - 2cdot(-1) =1 +2 =3

Passo 4

Montamos a aproximação linear (plano tangente) em (a,b)=(1,-1):
L(x,y) =f(1,-1)+fx(1,-1),(x-1)+fy(1,-1),(y+1)
Primeiro f(1,-1)=1^2 +1cdot(-1)-(-1)^2=1-1-1=-1.
Então
L(x,y) =-1 + 1,(x-1) + 3,(y+1) =-1 + x-1 +3y+3 = x +3y +1

Passo 5

Pra estimar z em (0,9,,-1,1), é só pôr na L(x,y):
L(0,9,,-1,1) =0,9 +3cdot(-1,1) +1 =0,9 -3,3 +1 =-1,4

Resposta

(a) partial zpartial x(1,-1)=1 e partial zpartial y(1,-1)=3.
(b) L(x,y)=x+3y+1 e, com x=0,9, y=-1,1, obtemos zapprox -1,4.

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