Considere o campo F(x, y, z)=(-2 x,-2 y, 4 z) e a superfície S de equação x+y+z=4 situada no interior de x^2+y^2=4.
(a) Parametrize S e calcule integral duplaS F cdot n d S, para n com componente z positiva.
(b) Sejam S1 o plano z=0 no interior de x^2+y^2=4, com normal apontando para baixo e S2 a superficie x^2+y^2=4 entre os planos z=0 e x+y+z=4, com normal exterior. Calcule integral duplaS1 cup S2 F cdot n d S.

Passo 1

Estamos lidando com o campo vetorial F(x,y,z)=(-2x,-2y,4z) e com as superfícies:
  • S: parte do plano x+y+z=4 acima do disco x^2+y^2<=4, com normal de componente z positiva.
  • S1: disco em z=0,;x^2+y^2<=4, com normal para baixo.
  • S2: superfície lateral do cilindro x^2+y^2=4 entre z=0 e x+y+z=4, com normal exterior.
    O conteúdo envolve integral de superfície de campo vetorial e Teorema da Divergência.

Passo 2

Parametrizamos S por
r(u,v)=(u,v,4-u-v), (u,v)in D:;u^2+v^2<=4
Então
ru=(1,0,-1), rv=(0,1,-1)
e o vetor normal (orientado para cima) é
rutimesrv=(1,1,1)
Calculamos F(r(u,v))=(-2u,-2v,16-4u-4v) e
Fcdot(rutimesrv)=(-2u)+(-2v)+(16-4u-4v)=16-6u-6v
Como D é simétrico, integral duplaD u,dA=integral duplaD v,dA=0, resta
integral duplaSFcdotvec n,dS=integral duplaD(16-6u-6v),dA=16cdotÁrea(D)=16cdot4pi=64pi Á

Passo 3

Para calcular integral duplaS1cup S2Fcdotvec n,dS, usamos o Teorema da Divergência no volume V limitado por S, S1 e S2. Temos
nablacdotF=-2-2+4=0
e assim
integral duplaS+integral duplaS1cup S2Fcdotvec n,dS=integral triplaV(nablacdotF),dV=0
Como já achamos integral duplaSFcdotvec n,dS=64pi, segue
integral duplaS1cup S2Fcdotvec n,dS=-64pi

Resposta

Parte (a): 64pi. Parte (b): -64pi.

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