Considere o campo
e a superfície
de equação
situada no interior de
.
(a) Parametrize
e calcule
, para
com componente
positiva.
(b) Sejam
o plano
no interior de
, com normal apontando para baixo e
a superficie
entre os planos
e
, com normal exterior. Calcule
.
(a) Parametrize
(b) Sejam
Passo 1
Estamos lidando com o campo vetorial
e com as superfícies:
-
: parte do plano acima do disco , com normal de componente positiva. -
: disco em , com normal para baixo. -
: superfície lateral do cilindro entre e , com normal exterior.
O conteúdo envolve integral de superfície de campo vetorial e Teorema da Divergência.
Passo 2
Parametrizamos
por
Então
e o vetor normal (orientado para cima) é
Calculamos
e
Como
é simétrico,
, resta
Passo 3
Para calcular
, usamos o Teorema da Divergência no volume
limitado por
,
e
. Temos
e assim
Como já achamos
, segue
Resposta
Parte (a):
. Parte (b):
.