Determine e classifique os pontos criticos da função f(x, y)=x^3-12 x y+8 y^3.
Formulário
ftem máximo local em (a,b) se fx x<0 e D=fx x fy y-fx y ^2>0 em (a,b)
ftem minimo local em (a,b) se fx x>0 e D=fx x fy y-fx y ^2>0 em (a,b)
ftem ponto de sela em (a,b) se D=fx x y y-fx y ^2<0 em (a,b).
O teste é inconclusivo se D=fx x fy y-fx y ^2=0. Encontre outra maneira de determinar o compo de fem (a, b).
D=|ll fx x & fx y fx y & fy y |

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função $ f(x, y) = x^{3} - 12xy + 8y^{3} $. Isso envolve calcular derivadas parciais e usar o teste da segunda derivada para classificar os pontos como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os pontos críticos. Esses pontos são onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.
Calculando as derivadas parciais:
x
y
Agora, igualamos ambas as derivadas a zero:
fx = partial fpartial x = 3x^2 - 12y
fy = partial fpartial y = -12x + 24y^2
Vamos resolver esse sistema de equações.

Passo 3

Da equação (1):
3x^2 - 12y = 0 implies x^2 = 4y implies y = x^24
Substituindo $ y = \frac{x^{2}}{4} $ na equação (2):
y = x^24
-12x + 24(x^24)^2 = 0
-12x + 24(x^416) = 0
-12x + 24x^416 = 0
-12x + 3x^42 = 0
3x^42 = 12x
3x^4 = 24x
x^4 = 8x
Então, as soluções são $ x = 0 $ ou $ x^{3} = 8 \implies x = 2 $.
Agora, vamos achar os valores correspondentes de $ y $:
  • Se $ x = 0 $:
    x(x^3 - 8) = 0
    Então, temos o ponto crítico $ (0, 0) $.
  • Se $ x = 2 $:
    x = 0
    Então, temos o ponto crítico $ (2, 1) $.

Passo 4

Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos das segundas derivadas parciais:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 6x
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 48y
fxy = partial^2 fpartial x partial y = -12
O determinante $ D $ é dado por:
D
Vamos calcular $ D $ para cada ponto crítico.
  • Para o ponto $ (0, 0) $:
    D = fxx fyy - (fxy)^2
    D
    (0, 0)
    Como $ D < 0 $, esse ponto é um ponto de sela.
  • Para o ponto $ (2, 1) $:
    fxx = 6(0) = 0
    fyy = 48(0) = 0
    D = 0 times 0 - (-12)^2 = -144 < 0
    Além disso, como $ f_{xx} > 0 $ e $ D > 0 $, esse ponto é um mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos são $ (0, 0) $, que é um ponto de sela, e $ (2, 1) $, que é um mínimo local.

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