Determine e classifique os pontos criticos da função
.
Formulário
ftem máximo local em (a,b) se
e
em (a,b)
ftem minimo local em (a,b) se
e
em (a,b)
ftem ponto de sela em (a,b) se
em (a,b).
teste é inconclusivo se
. Encontre outra maneira de determinar o compo de fem
.
Formulário
ftem máximo local em (a,b) se
ftem minimo local em (a,b) se
ftem ponto de sela em (a,b) se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função $ f(x, y) = x^{3} - 12xy + 8y^{3} $. Isso envolve calcular derivadas parciais e usar o teste da segunda derivada para classificar os pontos como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os pontos críticos. Esses pontos são onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero.
Calculando as derivadas parciais:
Agora, igualamos ambas as derivadas a zero:
Vamos resolver esse sistema de equações.
Passo 3
Da equação (1):
Substituindo $ y = \frac{x^{2}}{4} $ na equação (2):
Então, as soluções são $ x = 0 $ ou $ x^{3} = 8 \implies x = 2 $.
Agora, vamos achar os valores correspondentes de $ y $:
-
Se $ x = 0 $:
x(x^3 - 8) = 0 Então, temos o ponto crítico $ (0, 0) $. -
Se $ x = 2 $:
x = 0 Então, temos o ponto crítico $ (2, 1) $.
Passo 4
Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos das segundas derivadas parciais:
O determinante $ D $ é dado por:
Vamos calcular $ D $ para cada ponto crítico.
-
Para o ponto $ (0, 0) $:
D = fxx fyy - (fxy)^2 D (0, 0) Como $ D < 0 $, esse ponto é um ponto de sela. -
Para o ponto $ (2, 1) $:
fxx = 6(0) = 0 fyy = 48(0) = 0 D = 0 times 0 - (-12)^2 = -144 < 0 Além disso, como $ f_{xx} > 0 $ e $ D > 0 $, esse ponto é um mínimo local.
Resposta
Os pontos críticos são $ (0, 0) $, que é um ponto de sela, e $ (2, 1) $, que é um mínimo local.