Considere o vetor unitário u=(raiz32, 12) e a função
f(x, y)=ll x y^2x^2+y^4 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
Determine a derivada direcional Dv f(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre derivadas direcionais. A gente tem um vetor unitário u = (raiz32, 12) e uma função f(x, y) que tem duas definições: uma para pontos diferentes de (0,0) e outra para (0,0). Nosso objetivo é encontrar a derivada direcional de f na direção desse vetor u no ponto (0,0). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a definição de derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada direcional. A derivada direcional de uma função f em um ponto P na direção de um vetor unitário u = (u1, u2) é definida como:
Du f(P) = limt to 0 f(P + tu) - f(P)t
No nosso caso, P = (0,0) e u = (raiz32, 12). Como f(0,0) = 0, a fórmula fica:
Du f(0,0) = limt to 0 f(t cdot raiz32, t cdot 12)t

Passo 3

Agora, vamos calcular f(t cdot raiz32, t cdot 12). Substituindo na definição de f(x, y) para (x, y) neq (0,0):
f(traiz32, t2) = (traiz32) (t2)^2(traiz32)^2 + (t2)^4
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 4

Primeiro, calcule o numerador:
(traiz32) (t2)^2 = traiz32 cdot t^24 = t^3raiz38
Agora, o denominador:
(traiz32)^2 + (t2)^4 = 3t^24 + t^416

Passo 5

Então, nossa expressão para f fica:
f(traiz32, t2) = t^3raiz383t^24 + t^416
Vamos simplificar dividindo numerador e denominador por t^2:
= traiz3834 + t^216

Passo 6

Agora, queremos encontrar o limite quando t tende a 0:
Du f(0,0) = limt to 0 traiz3834 + t^216 = 034 = 0
Quando t se aproxima de 0, o numerador tende a 0 e o denominador tende a 34, então o limite é 0.

Resposta

Du f(0,0) = 0

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