Considere o vetor unitário
e a função
Determine a derivada direcional
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre derivadas direcionais. A gente tem um vetor unitário
e uma função
que tem duas definições: uma para pontos diferentes de
e outra para
. Nosso objetivo é encontrar a derivada direcional de
na direção desse vetor
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a definição de derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada direcional. A derivada direcional de uma função
em um ponto
na direção de um vetor unitário
é definida como:
No nosso caso,
e
. Como
, a fórmula fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Substituindo na definição de
para
:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 4
Primeiro, calcule o numerador:
Agora, o denominador:
Passo 5
Então, nossa expressão para
fica:
Vamos simplificar dividindo numerador e denominador por
:
Passo 6
Agora, queremos encontrar o limite quando
tende a 0:
Quando
se aproxima de 0, o numerador tende a 0 e o denominador tende a
, então o limite é 0.