Considere o campo vetorial
Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial
ao mover uma partícula desde o ponto
até o ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial dado por
E a gente precisa calcular o trabalho realizado por esse campo ao mover uma partícula do ponto
até o ponto
. Vamos usar cálculo vetorial, mais especificamente integrais de linha, pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de um caminho é calculado pela integral de linha:
Onde
é o caminho seguido pela partícula. Mas, tem um jeito mais fácil se o campo for conservativo!
Passo 3
Um campo vetorial é conservativo se ele é o gradiente de alguma função potencial
, ou seja,
. Nesse caso, o trabalho só depende dos pontos inicial e final, não do caminho. Vamos verificar se o nosso campo é conservativo.
Passo 4
Para saber se
é conservativo, a gente verifica se:
Onde
e
. Calculando as derivadas:
Como são iguais, o campo é conservativo!
Passo 5
Agora que sabemos que
é conservativo, existe uma função potencial
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Onde
é uma função que depende só de
.
Passo 6
Para encontrar
, vamos usar a segunda componente de
:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Igualando com
:
Passo 7
Subtraindo
dos dois lados:
Agora, integramos
para encontrar
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Assim, a função potencial é:
Passo 9
O trabalho realizado pelo campo vetorial é a diferença da função potencial nos pontos final e inicial:
Vamos calcular cada parte:
Para
:
Para
:
Resposta
Portanto, o trabalho realizado é: