A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura T(t) de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura constante TM do meio ambiente, isto é:
dT/dt = k[T(t) - TM]
onde k é uma constante de proporcionalidade.
(a) Encontre a solução geral da EDO (1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a Lei de Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um corpo muda ao longo do tempo quando está esfriando num ambiente com temperatura constante. A equação que representa isso é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem:
dT/dt = k[T(t) - TM]
Aqui, é a temperatura do corpo no tempo , é a temperatura do meio ambiente, e é uma constante de proporcionalidade. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa EDO, ou seja, expressar em termos de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual tipo de equação diferencial temos aqui. A equação é linear de primeira ordem, da forma:
No nosso caso, podemos reescrever a equação assim:
Comparando com a forma padrão, temos:
Para resolver esse tipo de equação, usamos o método do fator integrante. O fator integrante ( ) é dado por:

Passo 3

Vamos calcular o fator integrante:
Esse fator será usado para multiplicar toda a equação diferencial, facilitando a integração posteriormente.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
O lado esquerdo da equação agora pode ser escrito como a derivada do produto :

Passo 5

Agora, fazemos a integração dos dois lados em relação ao tempo :
A integração do lado esquerdo simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos integrar o lado direito:
Então, temos:

Passo 7

Agora, vamos multiplicar ambos os lados por para resolver para :

Resposta

A solução geral da EDO é:

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