Considere o campo vetorial
dado por
(a) O campo
conservativo? Se for, ache
tal que
. (resp.:
é conservativo e
, em que
.)
(b) Suponha que o campo acima corresponda a um campo de forças. Qual é o trabalho
que a força realiza sobre uma partícula que se move na curva
dada por
? (resp.:
.)
(b) Suponha que o campo acima corresponda a um campo de forças. Qual é o trabalho
Passo 1
O enunciado dá um campo vetorial
definido em
.
(a) Pede-se verificar se é conservativo e, em caso afirmativo, achar uma função potencial
tal que
.
(b) Usando esse mesmo como campo de forças, queremos o trabalho
(a) Pede-se verificar se
(b) Usando esse mesmo
ao longo da curva
,
.
O conteúdo necessário inclui teste de conservatividade (curl zero) e o Teorema Fundamental do Cálculo para campos gradiente.
O conteúdo necessário inclui teste de conservatividade (curl zero) e o Teorema Fundamental do Cálculo para campos gradiente.
Passo 2
Testamos se
é irrotacional, ou seja, se
Como ambas as derivações levam ao mesmo resultado (zero), concluímos que
em
. Ainda que esse domínio não seja simplesmente conectado, veremos que existe uma função
global satisfazendo
.
Passo 3
Procuramos
tal que
Note que, se definirmos
então usando a regra da cadeia obtemos
e de modo análogo para
. Logo
e
é conservativo.
Passo 4
Para calcular o trabalho
usamos o Teorema Fundamental do Cálculo para campos gradiente:
usamos o Teorema Fundamental do Cálculo para campos gradiente:
Temos
e
.
Então
e
Então
Logo
Resposta
(a)
é conservativo e
satisfaz
.
(b)
(b)