Considere o campo vetorial F: R^2 backslash(1,0) R^2 dado por
F(x, y)=(-(x-1)((x-1)^2+y^2)^3 / 2, -y((x-1)^2+y^2)^3 / 2)
(a) O campo F conservativo? Se for, ache f: R^2 backslash(1,0) R tal que F=nabla f. (resp.: F é conservativo e F=nabla f, em que f(x, y)=1((x-1)^2+y^2)^1 / 2.)
(b) Suponha que o campo acima corresponda a um campo de forças. Qual é o trabalho (integralgamma F cdot d r) que a força realiza sobre uma partícula que se move na curva gamma:[0,1] R^2 dada por gamma(t)=(1+cos (2 pi t), t) ? (resp.: raiz22-1.)

Passo 1

O enunciado dá um campo vetorial
F(x,y)=l(-(x-1)l((x-1)^2+y^2r)^3/2,;-yl((x-1)^2+y^2r)^3/2r)
definido em R^2setminus(1,0).
(a) Pede-se verificar se F é conservativo e, em caso afirmativo, achar uma função potencial f tal que F=nabla f.
(b) Usando esse mesmo F como campo de forças, queremos o trabalho
integralgammaFcdot d r
ao longo da curva gamma(t)=(1+cos(2pi t),,t), tin[0,1].
O conteúdo necessário inclui teste de conservatividade (curl zero) e o Teorema Fundamental do Cálculo para campos gradiente.

Passo 2

Testamos se F é irrotacional, ou seja, se
partialpartial yl(-(x-1)l((x-1)^2+y^2r)^3/2r) ;=; partialpartial xl(-yl((x-1)^2+y^2r)^3/2r)
Como ambas as derivações levam ao mesmo resultado (zero), concluímos que nablatimes F=0 em R^2setminus(1,0). Ainda que esse domínio não seja simplesmente conectado, veremos que existe uma função f global satisfazendo F=nabla f.

Passo 3

Procuramos f(x,y) tal que
partial fpartial x(x,y) =-(x-1)l((x-1)^2+y^2r)^3/2, partial fpartial y(x,y) =-yl((x-1)^2+y^2r)^3/2
Note que, se definirmos
f(x,y)=1raiz(x-1)^2+y^2,
então usando a regra da cadeia obtemos
partial fpartial x =-12l((x-1)^2+y^2r)^-3/2cdot2(x-1) =-(x-1)l((x-1)^2+y^2r)^3/2,
e de modo análogo para partial f/partial y. Logo F=nabla f e F é conservativo.

Passo 4

Para calcular o trabalho
integralgammaFcdot d r
usamos o Teorema Fundamental do Cálculo para campos gradiente:
integralgammaFcdot d r = fl(gamma(1)r)-fl(gamma(0)r)
Temos
gamma(0)=(1+cos0,,0)=(2,0)
e
gamma(1)=(1+cos(2pi),,1)=(2,1).
Então
f(2,1)=1raiz(2-1)^2+1^2 =1raiz2, f(2,0)=1raiz(2-1)^2+0^2 =1
Logo
integralgammaFcdot d r =1raiz2-1

Resposta

(a) F é conservativo e
f(x,y)=1raiz(x-1)^2+y^2
satisfaz F=nabla f.
(b)
integralgammaFcdot d r =1raiz2-1

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