Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.
Passo 1
O enunciado pede o domínio e o esboço do gráfico da função racional
Para isso vamos usar o conceito de função racional (onde o denominador não pode ser zero), analisar assíntotas e comportamento em limites, e depois traçar alguns pontos para obter a forma da hipérbole.
Passo 2
Determinar o domínio de uma função racional consiste em exigir que o denominador seja diferente de zero. Aqui o denominador é
, então devemos ter
Logo o domínio é
Passo 3
Identificar as assíntotas:
A assíntota vertical ocorre quando , pois
; portanto
A assíntota vertical ocorre quando
é assíntota vertical.
A assíntota horizontal ocorre quando , pois
; portanto
A assíntota horizontal ocorre quando
é assíntota horizontal.
Passo 4
Analisar o comportamento nos limites:
Isso mostra que existem duas “ramos” da hipérbole: um no primeiro quadrante e outro no terceiro quadrante.
Passo 5
Escolher alguns pontos característicos para orientar o esboço:
Com esses pontos e as assíntotas, traçamos suavemente uma curva que se aproxima de
e
sem tocá-las, desenhando o ramo descendente no terceiro quadrante e o ramo decrescente no primeiro quadrante.
Resposta
Domínio:
.
Gráfico: hipérbole com duas curvas, uma no primeiro quadrante (de quando
até
quando
) e outra no terceiro quadrante (de
quando
até
quando
), tendo assíntotas em
e
.
Gráfico: hipérbole com duas curvas, uma no primeiro quadrante (de