Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.
F(x)=1x

Passo 1

O enunciado pede o domínio e o esboço do gráfico da função racional
F(x)=1x
Para isso vamos usar o conceito de função racional (onde o denominador não pode ser zero), analisar assíntotas e comportamento em limites, e depois traçar alguns pontos para obter a forma da hipérbole.

Passo 2

Determinar o domínio de uma função racional consiste em exigir que o denominador seja diferente de zero. Aqui o denominador é x, então devemos ter
x neq 0
Logo o domínio é
,xinRmid xneq 0

Passo 3

Identificar as assíntotas:
A assíntota vertical ocorre quando xto0, pois F(x)topminfty; portanto
x=0
é assíntota vertical.
A assíntota horizontal ocorre quando xtopminfty, pois F(x)to0; portanto
y=0
é assíntota horizontal.

Passo 4

Analisar o comportamento nos limites:
limxto0^+F(x)=+infty, limxto0^-F(x)=-infty,
limxto+inftyF(x)=0^+, limxto-inftyF(x)=0^-
Isso mostra que existem duas “ramos” da hipérbole: um no primeiro quadrante e outro no terceiro quadrante.

Passo 5

Escolher alguns pontos característicos para orientar o esboço:
F(1)=1, F(2)=tfrac12, F(0,5)=2,
F(-1)=-1, F(-2)=-tfrac12, F(-0,5)=-2
Com esses pontos e as assíntotas, traçamos suavemente uma curva que se aproxima de x=0 e y=0 sem tocá-las, desenhando o ramo descendente no terceiro quadrante e o ramo decrescente no primeiro quadrante.

Resposta

Domínio: ,xinRmid xneq 0.
Gráfico: hipérbole com duas curvas, uma no primeiro quadrante (de +infty quando xto0^+ até 0^+ quando xto+infty) e outra no terceiro quadrante (de -infty quando xto0^- até 0^- quando xto-infty), tendo assíntotas em x=0 e y=0.

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