Considere
o campo vetorial definido em
pela equação
Mostre que
para todo
em
. Isto mostra que
é um potencial para
no conjunto
. Este exercício ilustra que a existência de uma função potencial depende não apenas do campo vetorial
, mas também do conjunto onde ele está definido.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
definido no conjunto
. A tarefa é mostrar que existe uma função
cuja derivada parcial em relação a
e
corresponde às componentes de
. Isso significa que
é uma função potencial para o campo vetorial
no conjunto
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial como campos vetoriais, derivadas parciais e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial. Um campo vetorial em
associa a cada ponto
um vetor
. No nosso caso, temos:
Agora, uma função potencial
para
é uma função tal que suas derivadas parciais correspondem às componentes de
. Ou seja:
Vamos verificar se isso é verdade para a
que estamos considerando.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. A função
que consideramos é uma função que envolve o ângulo polar, já que
parece estar relacionado à rotação.
Sabemos que em coordenadas polares, o ângulo
é dado por:
Vamos calcular
e
.
Primeiro, para
:
Agora, para
:
Passo 4
Agora que calculamos as derivadas parciais de
e vemos que:
Isso corresponde exatamente às componentes de
:
Portanto,
satisfaz as condições para ser uma função potencial de
no conjunto
.
Resposta
Assim, mostramos que
é uma função potencial para o campo vetorial
no conjunto
, já que suas derivadas parciais correspondem às componentes de
. Isso confirma que a existência de uma função potencial depende tanto do campo vetorial quanto do domínio onde ele está definido.