Considere F o campo vetorial definido em S=R^2-(0,0) pela equação
F(x, y) & =P(x, y) i+Q(x, y) j & =-yx^2+y^2 i+xx^2+y^2 j
Mostre que
partial thetapartial x=-yx^2+y^2, partial thetapartial y=xx^2+y^2
para todo (x, y) em T. Isto mostra que theta é um potencial para F no conjunto T. Este exercício ilustra que a existência de uma função potencial depende não apenas do campo vetorial F, mas também do conjunto onde ele está definido.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial definido no conjunto . A tarefa é mostrar que existe uma função cuja derivada parcial em relação a e corresponde às componentes de . Isso significa que é uma função potencial para o campo vetorial no conjunto . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial como campos vetoriais, derivadas parciais e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial. Um campo vetorial em F(x, y) = -yx^2+y^2 i + xx^2+y^2 j associa a cada ponto partial thetapartial x = P(x, y) e partial thetapartial y = Q(x, y) um vetor . No nosso caso, temos:
Agora, uma função potencial para é uma função tal que suas derivadas parciais correspondem às componentes de . Ou seja:
Vamos verificar se isso é verdade para a que estamos considerando.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de theta = arctan(yx) em relação a partial thetapartial x = partialpartial x arctan(yx) = -yx^2 + y^2 e partial thetapartial y = partialpartial y arctan(yx) = xx^2 + y^2 . A função que consideramos é uma função que envolve o ângulo polar, já que parece estar relacionado à rotação.
Sabemos que em coordenadas polares, o ângulo é dado por:
Vamos calcular e .
Primeiro, para :
Agora, para :

Passo 4

Agora que calculamos as derivadas parciais de partial thetapartial x = -yx^2 + y^2 e partial thetapartial y = xx^2 + y^2 e vemos que:
F(x, y) = -yx^2 + y^2 i + xx^2 + y^2 j
Isso corresponde exatamente às componentes de :
Portanto, satisfaz as condições para ser uma função potencial de no conjunto .

Resposta

Assim, mostramos que é uma função potencial para o campo vetorial no conjunto , já que suas derivadas parciais correspondem às componentes de . Isso confirma que a existência de uma função potencial depende tanto do campo vetorial quanto do domínio onde ele está definido.

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