Seja S = R^n - {(0,0)}, Seja r = ||x|| e seja F(x) campo vetorial definido em S pela equação
F(x) = r^p * ||x||
onde p é uma constante real. Encontre um potencial para F em S. O caso p = -2 deve ser tratado separadamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um campo vetorial definido em , onde é a norma do vetor e é uma constante real. A gente precisa encontrar uma função potencial tal que . Isso significa que é uma função cuja derivada em cada direção dá exatamente o campo vetorial . Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e integração de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é um campo vetorial radial, ou seja, a direção de é sempre a mesma da posição . Isso simplifica as coisas porque podemos trabalhar em coordenadas polares (ou esféricas se estivermos em ). Nessa configuração, o gradiente de uma função depende apenas da derivada em relação a . Então, se conseguirmos expressar como o gradiente de alguma , estaremos no caminho certo.

Passo 3

Sabemos que o gradiente em coordenadas polares é dado por:
onde é o vetor unitário na direção de . Comparando isso com nosso campo vetorial , percebemos que podemos escrever como:
Assim, queremos que:
O que implica que:

Passo 4

Agora, para encontrar a função potencial , precisamos integrar a expressão da derivada:
Vamos calcular essa integral. A antiderivada de é:
onde é a constante de integração. Como estamos procurando um potencial geral, podemos ignorar a constante , já que potenciais são definidos até uma constante.

Passo 5

Agora, precisamos considerar o caso especial quando . Se substituirmos na expressão acima, a denominador fica zero, o que nos leva a uma situação indeterminada:
Isso significa que a fórmula que usamos não funciona para , e precisamos resolver esse caso separadamente.

Passo 6

Para , o campo vetorial fica:
Queremos encontrar tal que . Vamos integrar novamente:
Então, para , o potencial é:

Resposta

Para , um potencial para em é:
E para o caso especial , o potencial é:

Exercícios relacionados