Seja
, Seja
e seja
campo vetorial definido em
pela equação
onde
é uma constante real. Encontre um potencial para
em
. O caso
deve ser tratado separadamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um campo vetorial
definido em
, onde
é a norma do vetor
e
é uma constante real. A gente precisa encontrar uma função potencial
tal que
. Isso significa que
é uma função cuja derivada em cada direção dá exatamente o campo vetorial
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e integração de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
é um campo vetorial radial, ou seja, a direção de
é sempre a mesma da posição
. Isso simplifica as coisas porque podemos trabalhar em coordenadas polares (ou esféricas se estivermos em
). Nessa configuração, o gradiente de uma função
depende apenas da derivada em relação a
. Então, se conseguirmos expressar
como o gradiente de alguma
, estaremos no caminho certo.
Passo 3
Sabemos que o gradiente em coordenadas polares é dado por:
onde
é o vetor unitário na direção de
. Comparando isso com nosso campo vetorial
, percebemos que podemos escrever
como:
Assim, queremos que:
O que implica que:
Passo 4
Agora, para encontrar a função potencial
, precisamos integrar a expressão da derivada:
Vamos calcular essa integral. A antiderivada de
é:
onde
é a constante de integração. Como estamos procurando um potencial geral, podemos ignorar a constante
, já que potenciais são definidos até uma constante.
Passo 5
Agora, precisamos considerar o caso especial quando
. Se substituirmos
na expressão acima, a denominador
fica zero, o que nos leva a uma situação indeterminada:
Isso significa que a fórmula que usamos não funciona para
, e precisamos resolver esse caso separadamente.
Passo 6
Para
, o campo vetorial fica:
Queremos encontrar
tal que
. Vamos integrar novamente:
Então, para
, o potencial é:
Resposta
Para
, um potencial para
em
é:
E para o caso especial
, o potencial é: