Utilize o método das seções transversais para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região e um disco ou anel típicos.
em torno do eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando o método das seções transversais para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas
e
em torno da reta
. A gente vai precisar entender um pouco sobre integrais e como aplicar o método dos discos ou anéis para calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas se interceptam. Isso ajuda a definir os limites de integração. Temos
e
. Substituindo uma na outra:
Resolvendo
:
Portanto, as curvas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora, vamos esboçar a região. A curva
é uma parábola que abre para cima, e
é uma parábola que abre para a direita. A região entre elas está entre
e
.
Passo 4
Como vamos rodar essa região em torno da reta
, precisamos determinar as distâncias das curvas até essa reta para formar os discos ou anéis. Nesse caso, será mais fácil integrar em relação a
.
Passo 5
Identificamos que, para cada valor de
no intervalo [0, 1], o limite esquerdo em
é
e o limite direito é
(obtido de
).
Passo 6
A fórmula geral para o volume usando o método dos anéis é:
Onde:
-
é a distância da reta de rotação até a borda externa. -
é a distância da reta de rotação até a borda interna.
Passo 7
Para nossa situação:
- A borda externa é
. - A borda interna é
. - A reta de rotação é
, então a distância vertical até cada curva é .
Passo 8
Calculando
e
:
No entanto, como estamos rotacionando em torno de uma linha horizontal, precisamos considerar a horizontalização das fórmulas. A distância real será baseada na posição horizontal:
A fórmula correta para o método dos anéis, quando rotacionamos em torno de uma linha horizontal, envolve a diferença nas posições horizontais multiplicadas pela altura.
Porém, neste caso, opte por usar o método de discos em relação a
.
Passo 9
Reformulando, o volume será:
Simplificando:
Passo 10
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 11
Substituindo de volta na expressão do volume:
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas
e
em torno da reta
é
unidades cúbicas.