Considere um campo vetorial F qualquer. O operador rotacional aplicado à este campo é dado por:
\nabla \times F=\left(\frac{\partial F_{z}}{\partial y}-\frac{\partial F_{y}}{\partial z}\right) i+\left(\frac{\partial F_{x}}{\partial z}-\frac{\partial F_{z}}{\partial x}\right) j+\left(\frac{\partial F_{y}}{\partial x}-\frac{\partial F_{x}}{\partial y}\right) k
Considerando a expressão acima, calcule o rotacional ( \nabla \times ) dos seguintes campos vetoriais:
F=x^{2} i+y^{2} j+z^{2} k

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotacional (ou “curl”) do campo vetorial dado. Informações fornecidas:
F = x^{2}\,i + y^{2}\,j + z^{2}\,k.
Também foi dada a fórmula do rotacional:
\nabla \times F=\left(\frac{\partial F_{z}}{\partial y}-\frac{\partial F_{y}}{\partial z}\right) i+\left(\frac{\partial F_{x}}{\partial z}-\frac{\partial F_{z}}{\partial x}\right) j+\left(\frac{\partial F_{y}}{\partial x}-\frac{\partial F_{x}}{\partial y}\right) k.
A pergunta é: qual é \nabla\times F para o campo acima?

Passo 2

O que vamos fazer: aplicar a fórmula do rotacional componente a componente. Preciso calcular derivadas parciais dos componentes de F. Lembrete rápido sobre derivada parcial: \partial/\partial x mede a taxa de variação em relação a x mantendo as outras coordenadas fixas; o mesmo vale para \partial/\partial y e \partial/\partial z. Aqui os componentes são simples polinômios em uma variável cada um, então muitas derivadas parciais serão zero — vou mostrar isso passo a passo.

Passo 3

Identifico os componentes escalares de F:
F_{x}=x^{2},\qquad F_{y}=y^{2},\qquad F_{z}=z^{2}.
Agora calculo \frac{\partial F_{z}}{\partial y} e \frac{\partial F_{y}}{\partial z}. Como F_{z}=z^{2} não depende de y, temos
\frac{\partial F_{z}}{\partial y}=0.
Como F_{y}=y^{2} não depende de z, temos
\frac{\partial F_{y}}{\partial z}=0.

Passo 4

Calculo a componente i do rotacional usando os resultados anteriores:
\left(\frac{\partial F_{z}}{\partial y}-\frac{\partial F_{y}}{\partial z}\right)=0-0=0.
Portanto a componente na direção i é 0.

Passo 5

Agora calculo \frac{\partial F_{x}}{\partial z} e \frac{\partial F_{z}}{\partial x}. Como F_{x}=x^{2} não depende de z,
\frac{\partial F_{x}}{\partial z}=0.
Como F_{z}=z^{2} não depende de x,
\frac{\partial F_{z}}{\partial x}=0.

Passo 6

Calculo a componente j do rotacional:
\left(\frac{\partial F_{x}}{\partial z}-\frac{\partial F_{z}}{\partial x}\right)=0-0=0.
Portanto a componente na direção j é 0.

Passo 7

Por fim, calculo \frac{\partial F_{y}}{\partial x} e \frac{\partial F_{x}}{\partial y}. Como F_{y}=y^{2} não depende de x,
\frac{\partial F_{y}}{\partial x}=0.
Como F_{x}=x^{2} não depende de y,
\frac{\partial F_{x}}{\partial y}=0.

Passo 8

Calculo a componente k do rotacional:
\left(\frac{\partial F_{y}}{\partial x}-\frac{\partial F_{x}}{\partial y}\right)=0-0=0.
Portanto a componente na direção k é 0.

Passo 9

Juntando as três componentes, o rotacional é o vetor zero:
\nabla\times F = 0\,i + 0\,j + 0\,k = \mathbf{0}.
Comentário didático final: isso aconteceu porque cada componente de F depende só de sua própria coordenada. Na prática, F é gradiente do potencial escalar
\varphi(x,y,z)=\frac{1}{3}\bigl(x^{3}+y^{3}+z^{3}\bigr),
pois \nabla\varphi=(x^{2},y^{2},z^{2})=F. Campos que são gradientes (em domínios simples) têm rotacional nulo — isto corresponde à ideia física de que não há “rotação” local do campo.

Resposta

\nabla\times F=\mathbf{0}

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