Considere um campo vetorial
qualquer.
operador rotacional aplicado à este campo é dado por:
Considerando a expressão acima, calcule o rotacional (
) dos seguintes campos vetoriais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o rotacional (ou “curl”) do campo vetorial dado. Informações fornecidas:
Também foi dada a fórmula do rotacional:
A pergunta é: qual é
para o campo acima?
Passo 2
O que vamos fazer: aplicar a fórmula do rotacional componente a componente. Preciso calcular derivadas parciais dos componentes de
. Lembrete rápido sobre derivada parcial:
mede a taxa de variação em relação a
mantendo as outras coordenadas fixas; o mesmo vale para
e
. Aqui os componentes são simples polinômios em uma variável cada um, então muitas derivadas parciais serão zero — vou mostrar isso passo a passo.
Passo 3
Identifico os componentes escalares de
:
Agora calculo
e
. Como
não depende de
, temos
Como
não depende de
, temos
Passo 4
Calculo a componente
do rotacional usando os resultados anteriores:
Portanto a componente na direção
é
.
Passo 5
Agora calculo
e
. Como
não depende de
,
Como
não depende de
,
Passo 6
Calculo a componente
do rotacional:
Portanto a componente na direção
é
.
Passo 7
Por fim, calculo
e
. Como
não depende de
,
Como
não depende de
,
Passo 8
Calculo a componente
do rotacional:
Portanto a componente na direção
é
.
Passo 9
Juntando as três componentes, o rotacional é o vetor zero:
Comentário didático final: isso aconteceu porque cada componente de
depende só de sua própria coordenada. Na prática,
é gradiente do potencial escalar
pois
. Campos que são gradientes (em domínios simples) têm rotacional nulo — isto corresponde à ideia física de que não há “rotação” local do campo.