Considere o semi-círculo superior C_{5}, de fórmula x^{2}+y^{2}=4, y>0, orientado no sentido anti-horário, e o campo \vec{F}
\vec{F}(x, y)=\left(y^{4}, 7 x y^{3}+x^{3} y\right)
Calcule \oint_{C_{5}} \vec{F} \cdot d \vec{r}, usando o teorema de Green

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o integral de linha fechado \oint_{C_{5}} \vec{F}\cdot d\vec{r}, onde C_{5} é o semi-círculo superior dado por x^{2}+y^{2}=4,\;y>0, orientado no sentido anti-horário. O campo vetorial é
\vec{F}(x,y)=\bigl(y^{4},\;7xy^{3}+x^{3}y\bigr).
Informações relevantes fornecidas:
\begin{aligned} &\text{Curva: }C_{5}\text{ é a fronteira do semidisco superior }D=\{(x,y):x^{2}+y^{2}\le 4,\;y\ge0\},\\\ &\text{Orientação: anti-horária (positiva).}\\\ &\text{Campo: }P(x,y)=y^{4},\;Q(x,y)=7xy^{3}+x^{3}y.\\\ &\text{O enunciado pede uso do Teorema de Green.} \end{aligned}éçãá

Passo 2

Apresento o Teorema de Green (forma que vou usar) e explico por que posso aplicá-lo: se C é uma curva simples, fechada e positivamente orientada que delimita uma região plana D, e P,Q têm derivadas parciais contínuas em um vizinhança de D, então
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA,
onde \vec{F}=(P,Q). Aqui P e Q são polinômios em x,y, logo suas derivadas são contínuas em todo o plano; C_{5} (o semicírculo mais o segmento da reta y=0 que fecha a curva) é uma curva simples e fecha a região D. Portanto posso usar Green para transformar o integral de linha em um integral duplo sobre D. Observação: a orientação anti-horária corresponde à orientação positiva exigida pelo teorema.

Passo 3

Identifico P e Q e calculo as derivadas parciais necessárias, explicando cada passo:
P(x,y)=y^{4},\qquad Q(x,y)=7xy^{3}+x^{3}y.
Calculo \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}: diferencio Q em relação a x, tratando y como constante.
\frac{\partial Q}{\partial x}=7y^{3}+3x^{2}y.
Calculo \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}: diferencio P em relação a y.
\frac{\partial P}{\partial y}=4y^{3}.
Agora a diferença que aparece no integrando do Teorema de Green:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=(7y^{3}+3x^{2}y)-4y^{3}=3y^{3}+3x^{2}y.
Fatorando 3y fica mais claro:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=3y\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).

Passo 4

Escolho coordenadas polares para simplificar a integral sobre o semidisco D. Primeiro descrevo D em polares:
D=\{(r,\theta)\mid 0\le r\le 2,\;0\le\theta\le\pi\},
porque o semicírculo superior tem raio 2 e \theta varia de 0 a \pi. As substituições são
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
e o elemento de área é
dA=r\,dr\,d\theta.
Substituo o integrando 3y(x^{2}+y^{2}) em polares: x^{2}+y^{2}=r^{2} e y=r\sin\theta. Então
3y(x^{2}+y^{2})=3(r\sin\theta)(r^{2})=3r^{3}\sin\theta.
Multiplicando pelo Jacobiano r para obter a forma dr\,d\theta:
\bigl(3r^{3}\sin\theta\bigr)\cdot r = 3r^{4}\sin\theta.
Assim o integral duplo fica
\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA =\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2}3r^{4}\sin\theta\,dr\,d\theta.

Passo 5

Faço a integração em r primeiro (mostrando cada etapa):
Calculo \displaystyle\int_{0}^{2}3r^{4}\,dr.
\int_{0}^{2}3r^{4}\,dr = 3\left[\frac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{2}=3\cdot\frac{2^{5}}{5}=3\cdot\frac{32}{5}=\frac{96}{5}.
Portanto o integral duplo se reduz a
\left(\frac{96}{5}\right)\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta.

Passo 6

Agora integro em \theta:
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta=\bigl[-\cos\theta\bigr]_{0}^{\pi}=(-\cos\pi)-(-\cos0)=(-(-1))-(-1)=1+1=2.
Multiplico pelo resultado anterior:
\frac{96}{5}\cdot 2=\frac{192}{5}.

Passo 7

Concluo pela igualdade do Teorema de Green: o integral de linha pedido é igual ao integral duplo que calculei. Portanto
\oint_{C_{5}}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\frac{192}{5}.
Fica aqui um recado: quando o integrando após \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} fica em termos de x^{2}+y^{2}, usar coordenadas polares costuma simplificar bastante — é a mão na roda para semidiscos e discos.

Resposta

\dfrac{192}{5}

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