Considere o semi-círculo superior
, de fórmula
, orientado no sentido anti-horário, e o campo
Calcule
, usando o teorema de Green
Calcule
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o integral de linha fechado
, onde
é o semi-círculo superior dado por
, orientado no sentido anti-horário. O campo vetorial é
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Apresento o Teorema de Green (forma que vou usar) e explico por que posso aplicá-lo: se
é uma curva simples, fechada e positivamente orientada que delimita uma região plana
, e
têm derivadas parciais contínuas em um vizinhança de
, então
onde
. Aqui
e
são polinômios em
, logo suas derivadas são contínuas em todo o plano;
(o semicírculo mais o segmento da reta
que fecha a curva) é uma curva simples e fecha a região
. Portanto posso usar Green para transformar o integral de linha em um integral duplo sobre
. Observação: a orientação anti-horária corresponde à orientação positiva exigida pelo teorema.
Passo 3
Identifico
e
e calculo as derivadas parciais necessárias, explicando cada passo:
Calculo
: diferencio
em relação a
, tratando
como constante.
Calculo
: diferencio
em relação a
.
Agora a diferença que aparece no integrando do Teorema de Green:
Fatorando
fica mais claro:
Passo 4
Escolho coordenadas polares para simplificar a integral sobre o semidisco
. Primeiro descrevo
em polares:
porque o semicírculo superior tem raio
e
varia de
a
. As substituições são
e o elemento de área é
Substituo o integrando
em polares:
e
. Então
Multiplicando pelo Jacobiano
para obter a forma
:
Assim o integral duplo fica
Passo 5
Faço a integração em
primeiro (mostrando cada etapa):
Calculo .
Calculo
Portanto o integral duplo se reduz a
Passo 6
Agora integro em
:
Multiplico pelo resultado anterior:
Passo 7
Concluo pela igualdade do Teorema de Green: o integral de linha pedido é igual ao integral duplo que calculei. Portanto
Fica aqui um recado: quando o integrando após
fica em termos de
, usar coordenadas polares costuma simplificar bastante — é a mão na roda para semidiscos e discos.