Determine se o campo \vec{F} no plano, é conservativo em seu domínio
\vec{F}(x, y)=\left(\frac{\ln (1+2 y)}{\sqrt{x}}, \frac{4 \sqrt{x}}{1+2 y}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar se o campo vetorial \vec{F} é conservativo no seu domínio.
Informações dadas:
\vec{F}(x,y)=\left(\frac{\ln(1+2y)}{\sqrt{x}},\;\frac{4\sqrt{x}}{1+2y}\right).
Condições para que as expressões estejam definidas: \sqrt{x} no denominador exige x>0. O logaritmo \ln(1+2y) e o denominador 1+2y exigem 1+2y>0, isto é y>-1/2. Portanto o domínio natural do campo é
D=\{(x,y)\mid x>0,\; y>-1/2\}.
O objetivo é decidir se \vec{F} é conservativo em D (ou seja, se existe uma função potencial \varphi tal que \vec{F}=\nabla\varphi).

Passo 2

Estratégia e teoria usada (explicada de forma direta): um campo vetorial \vec{F}=(P,Q) com componentes com derivadas parciais contínuas em um conjunto simplesmente conexo D é conservativo se, e somente se, as derivadas mistas se igualarem:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\quad\text{em }D.
Aqui P(x,y)=\dfrac{\ln(1+2y)}{\sqrt{x}} e Q(x,y)=\dfrac{4\sqrt{x}}{1+2y}. Antes de aplicar, confirmamos que D é aberto e simplesmente conexo: D=(0,\infty)\times(-1/2,\infty) é produto de intervalos abertos, não tem “buracos” e é simplesmente conexo. As derivadas parciais aqui serão contínuas em D (pois envolvem raízes e razões com denominadores não nulos em D). Logo é válido usar a condição das derivadas mistas.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial P}{\partial y}. Trato x como constante e \ln(1+2y) como função de y:
P(x,y)=\frac{\ln(1+2y)}{\sqrt{x}}=\ln(1+2y)\cdot x^{-1/2}.
Derivando em relação a y:
\frac{\partial P}{\partial y} = x^{-1/2}\cdot\frac{d}{dy}\big(\ln(1+2y)\big).
A derivada de \ln(1+2y) é \dfrac{2}{1+2y}. Portanto
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{1}{\sqrt{x}}\cdot\frac{2}{1+2y}=\frac{2}{\sqrt{x}\,(1+2y)}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial Q}{\partial x}. Escrevo
Q(x,y)=\frac{4\sqrt{x}}{1+2y}=\frac{1}{1+2y}\cdot 4x^{1/2}.
Derivando em relação a x (tratando y como constante):
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{1}{1+2y}\cdot\frac{d}{dx}\big(4x^{1/2}\big).
A derivada de 4x^{1/2} é 4\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=2x^{-1/2}. Logo
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{1}{1+2y}\cdot\frac{2}{\sqrt{x}}=\frac{2}{\sqrt{x}\,(1+2y)}.

Passo 5

Comparação das derivadas mistas: dos Passos 3 e 4 obtemos
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{2}{\sqrt{x}\,(1+2y)}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Como as derivadas parciais são contínuas em D e D é simplesmente conexo, a igualdade das derivadas mistas garante que \vec{F} é conservativo em D. Portanto existe uma função potencial \varphi com \nabla\varphi=\vec{F}.

Passo 6

Construção explícita da função potencial (útil para entender e para usar na prova). Integro P em relação a x:
P(x,y)=\frac{\ln(1+2y)}{\sqrt{x}}=\ln(1+2y)\cdot x^{-1/2}.
\varphi(x,y)=\int P(x,y)\,dx=\int \ln(1+2y)\,x^{-1/2}\,dx.
Aqui \ln(1+2y) é constante em relação a x, então
\varphi(x,y)=\ln(1+2y)\cdot\int x^{-1/2}\,dx=\ln(1+2y)\cdot 2\sqrt{x}+h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y. Assim
\varphi(x,y)=2\sqrt{x}\,\ln(1+2y)+h(y).
Para determinar h(y) diferenciamos \varphi em relação a y e igualamos a Q:
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=2\sqrt{x}\cdot\frac{d}{dy}\big(\ln(1+2y)\big)+h'(y)=2\sqrt{x}\cdot\frac{2}{1+2y}+h'(y)=\frac{4\sqrt{x}}{1+2y}+h'(y).
Como \dfrac{\partial\varphi}{\partial y} deve ser igual a Q(x,y)=\dfrac{4\sqrt{x}}{1+2y}, obtemos h'(y)=0. Portanto h é constante e podemos escolher h\equiv C. Assim uma função potencial é
\varphi(x,y)=2\sqrt{x}\,\ln(1+2y)+C.
Podemos verificar rapidamente que \phi_x=P e \phi_y=Q, confirmando.

Resposta

Sim; \vec{F} é conservativo no domínio \{(x,y)\mid x>0,\;y>-1/2\}.
Uma função potencial é \displaystyle \varphi(x,y)=2\sqrt{x}\,\ln(1+2y)+C.

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