Determine se o campo
no plano, é conservativo em seu domínio
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar se o campo vetorial
é conservativo no seu domínio.
Informações dadas:
Informações dadas:
Condições para que as expressões estejam definidas:
no denominador exige
. O logaritmo
e o denominador
exigem
, isto é
. Portanto o domínio natural do campo é
O objetivo é decidir se
é conservativo em
(ou seja, se existe uma função potencial
tal que
).
Passo 2
Estratégia e teoria usada (explicada de forma direta): um campo vetorial
com componentes com derivadas parciais contínuas em um conjunto simplesmente conexo
é conservativo se, e somente se, as derivadas mistas se igualarem:
Aqui
e
. Antes de aplicar, confirmamos que
é aberto e simplesmente conexo:
é produto de intervalos abertos, não tem “buracos” e é simplesmente conexo. As derivadas parciais aqui serão contínuas em
(pois envolvem raízes e razões com denominadores não nulos em
). Logo é válido usar a condição das derivadas mistas.
Passo 3
Calcular
. Trato
como constante e
como função de
:
Derivando em relação a
:
A derivada de
é
. Portanto
Passo 4
Calcular
. Escrevo
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
A derivada de
é
. Logo
Passo 5
Comparação das derivadas mistas: dos Passos 3 e 4 obtemos
Como as derivadas parciais são contínuas em
e
é simplesmente conexo, a igualdade das derivadas mistas garante que
é conservativo em
. Portanto existe uma função potencial
com
.
Passo 6
Construção explícita da função potencial (útil para entender e para usar na prova). Integro
em relação a
:
Aqui
é constante em relação a
, então
onde
é uma função arbitrária de
. Assim
Para determinar
diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
Como
deve ser igual a
, obtemos
. Portanto
é constante e podemos escolher
. Assim uma função potencial é
Podemos verificar rapidamente que
e
, confirmando.
Resposta
Sim;
é conservativo no domínio
Uma função potencial é
Uma função potencial é