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Considere o campo vetorial
\mathbf{F}(x, y)=\left(e^{x} \ln y-\frac{e^{y}}{x}\right) \mathbf{i}+\left(\frac{e^{x}}{y}-e^{y} \ln x\right) \mathbf{j} .
a) O campo \mathbf{F} é conservativo? Justifique sua resposta.
b) Calcule
\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}
onde C é qualquer caminho ligando o ponto (1,1) ao ponto (3,3).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y)=\bigl(e^{x}\ln y-\tfrac{e^{y}}{x}\bigr)\mathbf{i}+\bigl(\tfrac{e^{x}}{y}-e^{y}\ln x\bigr)\mathbf{j}
definido para x>0, y>0, e pede (a) verificar se \mathbf{F} é conservativo e (b) o valor de
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
entre (1,1) e (3,3). O conteúdo é campos conservativos e integrais de linha independentes de caminho.

Passo 2

Para testar se \mathbf{F} é conservativo, escrevemos
P(x,y)=e^{x}\ln y-\frac{e^{y}}{x},\quad Q(x,y)=\frac{e^{x}}{y}-e^{y}\ln x
e calculamos
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(e^{x}\ln y\Bigr) -\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\tfrac{e^{y}}{x}\Bigr) =\frac{e^{x}}{y}-\frac{e^{y}}{x},
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\tfrac{e^{x}}{y}\Bigr) -\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(e^{y}\ln x\Bigr) =\frac{e^{x}}{y}-\frac{e^{y}}{x}.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x em todo o domínio (0,\infty)\times(0,\infty), que é simplesmente conexo, concluímos que \mathbf{F} é conservativo.

Passo 3

Como \mathbf{F} é conservativo, existe uma função potencial f tal que \nabla f=\mathbf{F}. Integramos
f_x=P\implies f(x,y)=\int\Bigl(e^{x}\ln y-\tfrac{e^{y}}{x}\Bigr)\,dx =e^{x}\ln y-\;e^{y}\ln x+h(y).
Derivando em y e igualando a Q obtém-se h'(y)=0, logo h constante. Podemos tomar
f(x,y)=e^{x}\ln y-e^{y}\ln x.

Passo 4

O integral de linha entre (1,1) e (3,3) depende só dos valores de f:
\int_{(1,1)}^{(3,3)}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =f(3,3)-f(1,1).
Calculamos
f(3,3)=e^{3}\ln3-e^{3}\ln3=0, \quad f(1,1)=e^{1}\ln1-e^{1}\ln1=0,
logo a integral vale 0.

Resposta

a) Sim, \mathbf{F} é conservativo, pois \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x em um domínio simplesmente conexo.
b) \displaystyle \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0.

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