Resolva os problemas de valores iniciais abaixo:
$x y^{2} \frac{d y}{d x}=y^{3}-x^{3} ; y(1)=2$

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem com valor inicial

x\,y^{2}\,\frac{dy}{dx}=y^{3}-x^{3},\quad y(1)=2.

Esse tipo de equação é homogênea (grau zero em

x

y

no lado direito), e podemos resolvê-la usando a substituição

y = v\,x.

Reescrevendo em forma explícita, temos

\frac{dy}{dx}=\frac{y^{3}-x^{3}}{x\,y^{2}} =\frac{y}{x}-\frac{x^{2}}{y^{2}}.

Com

y=v\,x

segue

\frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx},\qquad \frac{y}{x}=v,\qquad \frac{x^{2}}{y^{2}}=\frac{1}{v^{2}}.

Substituindo na equação,

v + x\frac{dv}{dx} =v - \frac{1}{v^{2}} \quad\Longrightarrow\quad x\frac{dv}{dx}=-\frac{1}{v^{2}}.

Separamos variáveis em

v

x

v^{2}\,dv=-\frac{dx}{x}.

Integrando ambos os lados,

\int v^{2}\,dv = \int -\frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{v^{3}}{3}=-\ln\lvert x\rvert + C.

Multiplicando por 3 e renomeando a constante,

v^{3}=-3\ln\lvert x\rvert + C'.

Voltando a

y=v\,x

e aplicando

y(1)=2

: em

x=1

v=y/x=2

, logo

2^{3}=-3\ln1 + C'\quad\Longrightarrow\quad 8=C'.

Assim

v^{3}=8-3\ln\lvert x\rvert \quad\Longrightarrow\quad v=\sqrt[3]{8-3\ln\lvert x\rvert},

e portanto

y = x\,v = x\sqrt[3]{8 - 3\ln x},

considerando

x>0

y(x)=x\sqrt[3]{\,8 - 3\ln x\,}.

Resolva os problemas de valores iniciais abaixo: x y^{2} \frac{d y}{d x}=y^{3}-x^{3} ; y(1)=2