Considere o campo vetorial
e a curva
dada pela circunferência unitária
percorrida no sentido anti-horário. Calcule a integral de linha de
ao longo de
, isto é:
utilizando a parametrização da curva.
Em seguida, calcule a integral dupla dada por:
é o rotacional em cartesianas do mesmo campo anterior,
é a região de integração delimitada pela curva anterior e
é um versor que aponta para o sentido positivo do eixo
e é normal à região de integração . Dessas duas integrais, o que podemos concluir?
Em seguida, calcule a integral dupla dada por:
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e a curva
que é a circunferência unitária parametrizada por
percorrida no sentido anti-horário. Pede-se:
- Calcular a integral de linha
usando a parametrização. - Calcular a integral dupla
, onde é a região interna à circunferência unitária. - Dizer o que podemos concluir a partir dessas duas integrais.
As informações relevantes: expressão explícita de
, parametrização de
e que
é o disco unitário (região limitada pela curva).
Passo 2
Vamos calcular a integral de linha pela fórmula de parametrização. Regra importante (aula rápida): se
e
, então
Aqui
,
. Vou aplicar essa fórmula passo a passo.
Passo 3
Primeiro calcule
e avalie
ao longo de
.
Substituindo
em
,
O produto escalar é
Agora simplificamos esse integrando (vou escrever termo a termo):
Passo 4
Vamos separar a integral em quatro integrais mais simples:
Dica técnica (muito usada em provas): integrais do tipo
são zero porque
é periódico e volta ao mesmo valor; também integrais onde aplicamos mudança de variável
ou
ao integrar de
a
muitas vezes dão zero, pois os limites em
coincidem. Observe duas das integrais têm essa forma:
- Para
faça . Então e a integral vira . - Para
faça . Então e a integral vira .
Portanto restam apenas
.
Passo 5
Agora calculamos
. Use a identidade algébrica:
E use
e
. Assim
Integramos de
a
:
Passo 6
Portanto a integral de linha é
Passo 7
Agora vamos calcular o rotacional (componente em
, ou “curl” escalar em 2D). Para um campo
em coordenadas cartesianas a componente
do rotacional é
Aqui
e
. Calcule as derivadas parciais:
Logo
Passo 8
Agora a integral dupla sobre
(o disco unitário) é
É natural mudar para coordenadas polares:
, com
,
, e o elemento de área é
. Como
,
Passo 9
Compute inner integral:
Então
Passo 10
Conclusão (explicação curta, motivadora): as duas integrais deram o mesmo valor
. Isso é exatamente o que se espera do enunciado clássico que relaciona integral de linha ao redor de uma curva fechada com a integral dupla do rotacional sobre a região interior (a versão plana do teorema de Green). Aqui as hipóteses necessárias estão satisfeitas (campo com derivadas parciais contínuas na região que contém o disco unitário), então a igualdade se confirma no cálculo explícito.
Resposta
Conclusão: as duas integrais são iguais; confirma-se a aplicação do Teorema de Green para este caso.