Calcule a integral de linha dada por:
\int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r},
sendo C : a curva determinada por: \vec{r}(t)=(R \cos t, R \sin t), 0 \leq t \leq 2 \pi sendo R constante. e
\vec{F}=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}} \vec{i}+\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \vec{j}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} \vec{F}\cdot d\vec{r},
onde a curva C é dada pela parametrização
\vec{r}(t)=(R\cos t,\,R\sin t),\qquad 0\le t\le 2\pi,
com R constante, e o campo vetorial é
\vec{F}(x,y)=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\vec{i}+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\vec{j}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A parametrização de C é um círculo de raio R centrado na origem, percorrido de t=0 a t=2\pi.
  • O campo \vec{F} é escrito em coordenadas cartesianas e tem denominador x^{2}+y^{2} (logo é indefinido na origem (0,0)).
  • Precisamos avaliar a integral de linha ao longo dessa curva parametrizada.

Passo 2

Vamos usar a fórmula padrão para integrais de linha de campos vetoriais quando a curva está parametrizada. A fórmula é:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt,
onde \vec{r}(t) é a parametrização da curva e a,b são os limites do parâmetro (aqui a=0, b=2\pi). Vou ensinar o que isso significa: \vec{F}(\vec{r}(t)) é o valor do campo no ponto da curva correspondente ao parâmetro t; \vec{r}\,'(t) é o vetor velocidade (a derivada da parametrização). O produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t) dá a componente do campo na direção do deslocamento infinitesimal d\vec{r}, e integrar isso em t acumula a contribuição ao longo da curva.

Passo 3

Calculemos a derivada da parametrização (o vetor velocidade):
\vec{r}(t)=(R\cos t,\,R\sin t)\quad\Rightarrow\quad \vec{r}\,'(t)=(-R\sin t,\,R\cos t).
Explicando passo a passo: derivada de \cos t é -\sin t e de \sin t é \cos t, o R é constante e sai fatorado.

Passo 4

Agora avaliamos o campo \vec{F} ao longo da curva, ou seja \vec{F}(\vec{r}(t)). Substituímos x=R\cos t e y=R\sin t em \vec{F}:
\vec{F}(\vec{r}(t))= \frac{-R\sin t}{(R\cos t)^{2}+(R\sin t)^{2}}\vec{i}+\frac{R\cos t}{(R\cos t)^{2}+(R\sin t)^{2}}\vec{j}.
O denominador simplifica porque (R\cos t)^{2}+(R\sin t)^{2}=R^{2}(\cos^{2}t+\sin^{2}t)=R^{2}. Então
\vec{F}(\vec{r}(t))=\left(\frac{-R\sin t}{R^{2}},\,\frac{R\cos t}{R^{2}}\right) =\left(\frac{-\sin t}{R},\,\frac{\cos t}{R}\right).
Uma interpretação útil: em coordenadas polares este campo tem componente angular que é \tfrac{1}{r}, então ao restringir a r=R vira \tfrac{1}{R} vezes o vetor tangente unitário.

Passo 5

Agora fazemos o produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t). Substituindo os vetores encontrados:
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t) =\left(\frac{-\sin t}{R}\right)(-R\sin t)+\left(\frac{\cos t}{R}\right)(R\cos t).
Simplificando cada termo: o R do numerador e denominador se cancelam em cada produto:
\left(\frac{-\sin t}{R}\right)(-R\sin t)=\sin^{2}t, \qquad \left(\frac{\cos t}{R}\right)(R\cos t)=\cos^{2}t.
Somando:
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t)=\sin^{2}t+\cos^{2}t=1.
Aqui usei a identidade trigonométrica básica \sin^{2}t+\cos^{2}t=1.

Passo 6

Com o integrando simplificado, a integral de linha fica
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{2\pi} 1\,dt.
Integrando 1 em t de 0 a 2\pi obtemos
\int_{0}^{2\pi}1\,dt=2\pi.

Passo 7

Comentário didático e observação importante: o campo \vec{F} é indefinido na origem (0,0), por isso não é um campo gradiente definido em todo o disco interior ao círculo; logo não podemos simplesmente afirmar que é conservativo e que a integral seja zero. No entanto, a parametrização direta da curva resolve a integral sem problemas. Também vale notar que o resultado \;2\pi é independente do raio R (desde que R>0), porque o produto escalar ficou igual a 1 para qualquer R\neq 0.

Resposta

\;2\pi

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