Calcule a integral de linha dada por:
sendo
: a curva determinada por:
sendo
constante. e
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde a curva
é dada pela parametrização
com
constante, e o campo vetorial é
Informações relevantes fornecidas:
- A parametrização de
é um círculo de raio centrado na origem, percorrido de a . - O campo
é escrito em coordenadas cartesianas e tem denominador (logo é indefinido na origem ). - Precisamos avaliar a integral de linha ao longo dessa curva parametrizada.
Passo 2
Vamos usar a fórmula padrão para integrais de linha de campos vetoriais quando a curva está parametrizada. A fórmula é:
onde
é a parametrização da curva e
são os limites do parâmetro (aqui
,
). Vou ensinar o que isso significa:
é o valor do campo no ponto da curva correspondente ao parâmetro
;
é o vetor velocidade (a derivada da parametrização). O produto escalar
dá a componente do campo na direção do deslocamento infinitesimal
, e integrar isso em
acumula a contribuição ao longo da curva.
Passo 3
Calculemos a derivada da parametrização (o vetor velocidade):
Explicando passo a passo: derivada de
é
e de
é
, o
é constante e sai fatorado.
Passo 4
Agora avaliamos o campo
ao longo da curva, ou seja
. Substituímos
e
em
:
O denominador simplifica porque
. Então
Uma interpretação útil: em coordenadas polares este campo tem componente angular que é
, então ao restringir a
vira
vezes o vetor tangente unitário.
Passo 5
Agora fazemos o produto escalar
. Substituindo os vetores encontrados:
Simplificando cada termo: o
do numerador e denominador se cancelam em cada produto:
Somando:
Aqui usei a identidade trigonométrica básica
.
Passo 6
Com o integrando simplificado, a integral de linha fica
Integrando
em
de
a
obtemos
Passo 7
Comentário didático e observação importante: o campo
é indefinido na origem
, por isso não é um campo gradiente definido em todo o disco interior ao círculo; logo não podemos simplesmente afirmar que é conservativo e que a integral seja zero. No entanto, a parametrização direta da curva resolve a integral sem problemas. Também vale notar que o resultado
é independente do raio
(desde que
), porque o produto escalar ficou igual a
para qualquer
.