Considere a bola sólida de raio
,
com densidade volumétrica radial
Calcule a carga total
contida na bola.
Passo 1
O enunciado dá uma bola sólida de raio
com densidade volumétrica radial
onde
. A pergunta é: calcular a carga total
contida na bola. \n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Vamos escrever a expressão matemática para a carga total:
é a integral da densidade sobre o volume,
Agora precisamos escolher coordenadas para avaliar essa integral. Como a densidade depende só de
(é radial) e o domínio é uma bola (só depende de
também), coordenadas esféricas são a escolha natural — isso simplifica muito a integral porque as integrais angulares separam. \n
Breve aula sobre coordenadas esféricas (para você lembrar na prova):
Breve aula sobre coordenadas esféricas (para você lembrar na prova):
Elemento de volume em esféricas:
. Expliquei o que é cada variável e como aparece o fator
:
vem da área da esfera de raio
e
é o elemento angular na esfera unitária.
Passo 3
Substituímos a densidade e o elemento de volume na integral:
Como o integrando separa em parte radial e parte angular, podemos fazer as integrais angulares primeiro. Calculemos as integrais angulares:
Multiplicando obtemos a contribuição angular total
. Assim a integral reduz para uma integral unidimensional em
:
Passo 4
Agora avaliaremos a integral radial passo a passo. Primeiro expandimos o integrando:
Então
Calcule as primitivas (aqui uma pequena aula sobre integrais de potências): para
,
Aplicando:
Substituindo:
Agora simplificamos a diferença de frações:
Voltando para
:
Passo 5
Simplificando o fator numérico:
Portanto obtemos a expressão final para a carga total:
Como checagem rápida: se a densidade fosse constante igual a
, a carga seria
. Nosso resultado é exatamente um quarto desse valor, o que faz sentido porque a densidade aqui decai linearmente de
em
até
em
, então a carga total é bem menor do que no caso uniforme com a mesma
central — essa comparação é um bom “sanity check” para a prova.